Question

为什么矩阵的行列式等于他所有特征值的乘积

Answer 1

所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，这个是正确的。

计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量，其中是不全为零的任意实数。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值唯一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

三角矩阵

设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。根据定理，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。

令A为n×n矩阵，若A有一行或一列包含的元素全为零，则det(A)=0；若A有两行或两列相等，则det(A)=0。这些结论容易利用余子式展开加以证明。

Answer 2

因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。

对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开。

扩展资料：

特征方程(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

Answer 3

因为矩阵可以化成对角元素都是其特征值的对角矩阵，而行列式的值不变，对角矩阵的行列式就是对角元素相乘

Answer 4

楼上的讲法是对的。更简单的证明是对特征多项式的常数项用Vieta定理。

Answer 5

线性代数课本上有证明