Question

用向量法证明:三角形的三条中线交与一点

RT请用向量知识解答

Answer 1

设两条中线的交点为O,按一定方向设三角形三边的向量为向量a,b,c,三边中点为D,E,F.假如说取的两条中线是AD和BE,那么,就用a,b,c表示向量CO和OF,就可以发现向量CO和OF平行,因为它们共点O,所以CO和OF在同一条直线上,即三角形的中线CF经过O点.证毕.

Answer 2

证法1
先做图,做出过b,
c的两条中线,分别交ac于m,交ab于n,所以m,n是ac,ab的中点.连接mn
设向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ为不等于0的实数)
向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn,
向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm
所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn
即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量
因为向量pm与向量pn不共线,所以λ=2,μ=2
所以向量bp=2向量pm
由此证得两中线交点把bm分成2:1.同理可证另一条中线与bm的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2
得证.
证法2
作出一个三角形abc,设d,e,f分别是bc,ca,ab的中点,在平面上任取一点o,设向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c
则向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a).
再设p为ad上的三等分点，满足向量ap=2向量pd，
则向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3
*
1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，p也是be，cf的三等分点，因此三条中线交于点p。
三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2

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