Question

高一数学 幂函数 性质 归纳 100分

Y=X^N/M.帮忙归纳一下性质 要全的 （M为奇 偶 或是N 等） 定义域 值域 单调性 （包括在哪区间上）
反正就是各情况 X为正负 和N M各情况时函数的性质 和 图像为抛物线/双曲线型 谢了！

Answer 1

幂函数y＝x^α重点是α＝±1，±2，±3，±1/2.

1. α=0.
y=x^0.
图象：过点（1，1），平行于x轴的直线一条（剔去点（0，1））.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：{1}.
奇偶性：偶函数

2. α∈Z＋.
①α＝1
y=x
图象：过点（1，1），一、三象限的角平分线（包含原点（0，0））.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. （－∞，＋∞）
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。

②α＝2
y=x^2
图象：过点（1，1），抛物线.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. [0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0]，增区间[0，＋∞）
奇偶性：偶函数。
注：当α＝2n, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

③α＝3
y=x^3
图象：过点（1，1），立方抛物线.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. （－∞，＋∞）
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝2n＋1, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

3．α是负整数。
①α＝－1
y=x^(-1).
图象：过点（1，1），双曲线.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：. （－∞，0）∪（0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）。
奇偶性：奇函数。

②α＝－2
y=x^（－2）。
图象：过点（1，1），分布在一、二象限的拟双曲线.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（0，＋∞）
单调性：增区间（－∞，0），减区间（0，＋∞）
奇偶性：偶函数。
注：当α＝－2n, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

③α＝－3
y=x^（－3）
图象：过点（1，1），双曲线型.
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）
奇偶性：奇函数。
注：当α＝－2n＋1, n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

4．α是正分数。
①α＝1/2.
y=x^(1/2)=√x.
图象：过点（1，1），分布在一象限的抛物线弧（含原点）。
定义域：[0，＋∞）.
值域：[ 0，＋∞）.
单调性：增函数。
奇偶性：非奇非偶。
注：当α＝（2n＋1）/（2m）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

②α＝1/3.
y=x^(1/3)
图象：过点（1，1），与立方抛物线y＝x^3关于直线y＝x对称。.
定义域：（－∞，＋∞）.
值域：. （－∞，＋∞）.
单调性：增函数。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝（2n－1）/（2m＋1）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

5．α是负分数。
①α＝－1/2.
y=x^(－1/2)=1/√x.
图象：过点（1，1），只分布在一象限的双曲线弧。
定义域：（0，＋∞）.
值域：（ 0，＋∞）.
单调性：减函数。
奇偶性：非奇非偶。
注：当α＝－（2n－1）/（2m）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

②α＝－1/3.
y=x^(－1/3)=1/(3)√x.
图象：过点（1，1），双曲线型。
定义域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
值域：（－∞，0）∪（0，＋∞）.
单调性：减区间（－∞，0）和（0，＋∞）。
奇偶性：奇函数。
注：当α＝－（2n－1）/（2m＋1）, m,n∈N＋时，幂函数y=x^α也具有上述性质。

Answer 2

幂函数的一般形式为y=x^a
当a>1时,第一象限的部份为开口向上的抛物线型
当0<a<1时,第一象限的部份为开口向右的抛物线型
当a<0时,第一象限的部份为双曲线型

当a<o时,幂函数为减函数
当a>o时,幂函数为增函数

我当时学的时候也头痛,教你个办法,实在记不得就临时画几个特殊图象
如Y=X平方 Y=X三次方 Y=X二分之一次方
然后跟据规率做题

如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

（1）所有的图形都通过（1，1）这点。
（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
（3）当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（5）a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
（6）显然幂函数无界。

Answer 3

幂函数的一般形式为y=x^a。 如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=N/M，且N/M为既约分数（即N、M互质），M和N都是整数，则x^(N/M)=M次根号（x的N次方），如果M是奇数，函数的定义域是R，如果M是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，M不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据M的奇偶性来确定，即如果同时M为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时M为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时M为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的， 必须指出的是，当x 因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到： （1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0) （2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 （3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 （4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 （5）显然幂函数无界限。 (6) a=0,该函数为偶函数 ｛x|x≠0｝。