Question

求四道不定积分题的详解

1.cos^2 3tdt
2.dx/sinxcoxx
3.dx/e^2+e^-2
4.x/1+2x^4 dx
每个题前面有个∫，我忘打了

Answer 1

1.把cos^2 3t用三角公式降为(1+cos6t)/2，
∫[(1+cos6t)/2]dt
=(t/2)+(1/12)*∫[cos6t)]d6t
=(t/2)+(1/12)*sin6t+C。

shawhom对题2的另一种方法应是2∫csc2x dx。

Answer 2

∫cos^2 3tdt
=∫（1+cos6t）/2dt
=∫1/2+cos6t/2dt
=1/2t+1/12sin6t+C

∫dx/sinxcosx
=∫2(dx)/[2sinxcosx]
=∫[2dx]/[tanxcos²x]
=2∫[dtanx]/tanx
=2ln│tanx│+C

另一种方法是
2∫cscx dx=2ln│cscx-cotx│+C

3.∫dx/e^2x+e^-2x
令e^x=t，则x=lnt。带入化得
∫t^3/t^4+1dx
=1/4*ln(t^4+1)
则∫dx/e^2x+e^-2x
=1/4*ln(e^4x+1)

4.∫x/1+2x^4 dx
=1/(2√2)*arctan(√2x^2)+C