Question

帮忙解决一下数学问题(初三)

1.已知关于x的方程(a+c)x的平方+2bx-(c-a)=0的两个解之和为-1,两解之差为1,且a,b,c为三角形ABC三边.(1)求方程的两解.(2)判断三角形ABC的形状.

2.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x的平方-6x+a=0的两根,当这样的三角形只有一个时,试求a的取值范围.(写过程)

Answer 1

解：（1）令(a+c)x²+2bx-(c-a)=0的两个解为x1、x2，根据韦达定理：x1+x2=-2b/(a+c)=-1 x1•x2=(a-c)/(a+c)
又：（x1-x2)²=(x1+x2)²-4(a-c)/(a+c)＝(-1)² 即：1-4(a-c)/(a+c)＝1 故：a=c
由：x1+x2=-2b/(a+c)=-1 得：b=a+c=2a
故：(a+c)x²+2bx-(c-a)=0可以化为：2ax²+4ax=0 故：x1=0 x2=-4

因为b=a+c，故a、b、c不能构成△（我估计答案是等腰△）

（2）令x²-6x+a=0的两根为t、b，其中t为等腰三角形的腰，根据韦达定理有：t+b=6 bt=a
又根据三角形三边的关系有：2t＞b 结合t+b=6（即：b=6-t)得：2t＞6-t
故：2＜t＜6
又：a=bt=t(6-t)=-(t-3)²+9 且2＜t＜6，结合二次函数的图像可知：在2＜t＜6范围内：当t=3时,a有最大值9；当t=6时,a有最小值0
故：0＜a≤9