Question

八年级数学竞赛题！

已知下面等式对任意实数x都成立（n为正整数）：
(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3…+(1+x)^n=a0+a1x+a2(x^2)…an(x^n)
且a1+a2+a3…+an=57,则满足条件的n的可能值为______.

"^"表示乘方，后面的数是指数
等式右边的0，1，2…n都是下标

在线等！！请写明过程！谢。

Answer 1

楼主，可用假设法来解（因为下面等式对任意实数x都成立）

解：
（1）设x=0
则有：(1+0)+(1+0)^2+(1+0)^3+………+(1+0)^n= a0+ a1（0）+ a2（0^2）+ a3（063）+………+ an（0^n）
既：1+1+1+1+1+1+………+1（n个1）= a0+0
得 n = a0
（2）设x=1
则有：(1+1)+(1+1)^2+(1+1)^3+(1+1)^4+………+(1+1)^n=a0+a1（1）+a2（1^2）+a3（1^3）+………+an（1^n）
既：2+2^2+2^3+………+2^n= a0+a1+a2+a3+………+an
=2+2^2+2^3+………+2^n= n+57
=2+2^2+2^3+………+2^n－57= n
（2+2^2+2^3+………+2^n应是有公式的，但偶不知道，只好用假设n的值来求，请谅解！）

(3)设n=6
则有：2+ 2^2+2^3+2^4+2^5+2^6－57=n
=2+4+8+16+32+64－57= n
=126－57= n n=69 与n=6矛盾
∴n＞6
设n=5
则有：2+ 2^2+263+2^4+2^5－57= n
=2+4+8+16+32－57= n
=62－57= n n=5 ∴n=5成立
∴n=5