Question

当x趋向于0时,求极限

(1+x)^(1/x)-e
-------------
x
分子是(1+x)^(1/x) -e
分母是x

Answer 1

有难度，我只能做几步，你看看吧！
首先，原式是0/0型的未定式，而且满足洛必达法则的条件，
所以原式=lim{e^(1/x)*ln(1+x)-ln(1+x)/x^2+1/[x(1+x)]}/1 (利用了一次洛必达法则)
=lim{-[e^(1/x)*ln(1+x)ln(1+x)]/x^2+e^x*ln(1+x)/x(x+1)}/1
=lim[ln(1+x)e^(1/x)*ln(1+x)]/x+lim[ln(1+x)/x]*lim[(e^x)/(x+1)]
=lim[ln(1+x)/x]*lim[e^(1/x)*ln(1+x)]+lim[ln(1+x)/x]*lim[(e^x)/(x+1)] (利用了一次洛必达法则）
=lim[e^(1/x)*ln(1+x)]
剩下的不知道了！好像还可以再化成分数形式，继续用洛必达法则。

Answer 2

分子可化为exp[(1/x)ln(1+x)]-e=e*{e^[(1/x)ln(1+x)-1]-1}
分子是无穷小，利用等价无穷小，分子=e*[(1/x)ln(1+x)-1]
原式=lim e*[ln(1+x)-x]/(x^2)
洛必达法则=lim e*[1/(1+x)-1]/(2x)=lim e*x/[2x(1+x)]=e/2

Answer 3

e/2

Answer 4

e/2