Question

已知函数f(x)=e^x-x^2/2-ax-1,其中a为实数

已知函数f(x)=e^x-x^2/2-ax-1,其中a为实数
（1）当a=-1/2时，求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程（2）当x大于等于1/2时，若关于x的不等式f(x)大于等于0恒成立，试求a的取值范围

Answer 1

（1）切线方程用泰勒公式
对f(x)求导，得f'(x)=e^2-x-a
当a=-1/2时，f(1)=1.71, f'(1)=2.22。
切线方程f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=1.71+2.22(x-1)

(2)利用：倒数>0,则函数单调增。此时函数初值大于0，则一直大于0
由f(0.5)>=0,解得a<=1.05
a=1.05时，f'(0.5)>0。由f''(x)=e^x-1,得f''(0.5)>0。
所以，a<1.05时,当x>=0.5，f'(x)>0，且f(x)>=0
所以，a<1.05,满足条件。