Question

一道数学题

如图，Rt△ABC中，∠BAC= Rt∠，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E
1）、求证：△ABD∽△DCE
2）、设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围
3）、当△ADE是等腰三角形时，求AE的长

Answer 1

（1）∵Rt△ABC中，AB=AC=2
∴∠B=∠C=45°
又∵∠BDE=∠C+∠CED(三角形外角等于和它不相另两内交和），∠ADE=45°=∠CED
∴△ABD∽△DCE（AA）
（2）2/（2-X）=X/（2-Y）即
y=-[(x-1)^2-5]/2
∵y>0
∴(x-1)^2-5<0即
1-根号7<x<1+根号7
又∵0<x<2根号2（BC=2根号2）
∴自变量x的取值范围∵0<x<2根号2
（3）∵△ADE是等腰三角形，∠ADE=45°
∴∠DEA=∠CED=90°，∠EAD=∠C=45°
∴△ADE∽=△DCE
∴AE=CE=1/2AC=1/2*2=1

Answer 2

解
1
AB=AC
△ABC为等角三角形 ∠B=∠C=45
因为∠ADE=45
所以 ∠DEC=135-∠EDC
∠BDA=180-∠ADE-∠EDC=∠DEC
三角形两角相等 所以△ABD∽△DCE
2
三角形相似 BD/EC=AB/DC
即 x/（2-y）=2/（2√2-x）
所以
y=2-x/2*（2√2-x）
X取值范围 （0，2√2）
3
三角形ADE为等腰 AD=DE
△ABD≌△DCE
DC=2
EC=BD=2√2-2
AE=AC-EC=4-2√2
所以
AE的长为4-2√2

Answer 3

1.因为∠C＝∠D=45°
∠CED=45°+∠CAD
∠ADB=45°+∠CAD
∠CED=∠ADB
故：△ABD∽△DCE

2.因为△ABD∽△DCE
所以x/(2-y)=2/(2根号2-x)
y=1/2*x^2-根号2*x+2
自变量x的取值范围为（0，2根号2）

3.因为△ADE是等腰三角形，∠ADE=45°，
所以△ADE是等腰直角三角形
∠DAC＝45°
∠ADC＝90°
AD为等腰直角三角形ABC的高，也是中线，
故AE=1/2AC=1