Question

关于 高等数学 连续

设函数y=1/x

对于任意给定的ε，虽然存在着正数δ，使得适合不等式|x－xo|<δ成立，设x＝1/6,xo=1/9,即|1/6－1/9|=1/18<δ成立 ，但是| 6－ 9|=3>ε，所以函数y=1/x不是连续函数

这样证明 怎么和定理矛盾了 问题在哪里 谢谢回答

Answer 1

连续的定义：函数f(x)在xo处连续,是指对于任意给定的ε>0,必定存在δ>0,使得当|x-xo|<δ时，都有|f(x)-f(xo)|<ε.
要证明y=1/x在(0,+∞)连续。任意取定xo>0,对于给定的ε>0（因为这里是利用ε的任意小，故不妨设ε<1/xo)，要使
|1/x-1/xo|<ε.................................(1)
即1/xo-ε<1/x<1/xo+ε..........................(2)
即xo/(1+εxo)<x<xo/(1-εxo)....................(3)
即-εxo^2/(1+εxo)<x-xo<εxo^2/(1-εxo)..........(4)
因此，只要取δ=εxo^2/(1+εxo)
当|x-xo|<δ时,推出(4)成立，然后(4)⟹(3)⟹(2)⟹(1).于是y=1/x在xo连续，又由于xo是任意取的,因此y=1/x在(0,+∞)连续。

要证明函数f(x)在xo处连续,xo必先取定，然后给定ε，选取的δ必定与xo和ε都有关，才能使得当x满足|x-xo|<δ时，都有|f(x)-f(xo)|<ε，而你的例子里的δ与xo和ε都脱离开来了，这样谈连续没有一点意义。