Question

已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A（m,-3)到焦点F的距离为5，求m的值，

已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A（m,-3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线方程。

Answer 1

当抛物线焦点在x轴上时,设其方程为y²=2px,代入A点坐标，则有：2pm=9 ①
抛物线准线方程为x=-p/2,所以m+p/2=5 ②
①②两式联立解得:
1) m=1/2,p=9，此时抛物线方程为y²=18x;
2) m=9/2,p=1, 此时抛物线方程为y²=2x.
当抛物线焦点在y轴上时,设其方程为x²=2py,代入A点坐标，则有：m²=-6p ③
抛物线准线方程为y=-p/2,所以-p/2-(-3)=5 ④
③④两式联立解得:
3）p=-4,m=±2√6,此时抛物线方程为：x²=-8y

Answer 2

y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；y2=18x,m=；y2=-18x,m=-
解析:
①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x2=-2py(p＞0)，
这时准线方程为y=,
由抛物线定义知-(-3)=5,解得p=4,
∴抛物线方程为x2=-8y,
这时将点A（m,-3）代入方程，得m=±2.
②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2=2ax (a≠0)，从p=|a|知准线方程可统一成x=-的形式，于是从题设有，
解此方程组可得四组解
,,，.
∴y2=2x,m=；y2=-2x,m=-；y2=18x,m=；y2=-18x,m=-.
应该有6个解，我只有4个解

Answer 3

设抛物线的方程为：y方=2px,
根据抛物线定义有（到定直线的距离=到定点的距离）：p/2+m=5
又因为点A（m,-3)再抛物线上，满足方程y方=2px，将坐标代入方程，可得：
9=2pm；
连理以上两方程就可以算出m与p,从而得到抛物线方程。