Question

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在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c且acosC,bcosB,ccosA成等差数列.求B的值.求2(sinA的平方)+cos(A-C)的范围.

Answer 1

(1)
2bcosB=acosC+ccosA
由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA
∴2sinBcosB=sin(A+C)
∴2sinBcosB=sinB
∴cosB=1/2
∴B=60度
(2)
2sin^2A+cos(A-C)
=1-cos2A+coa(2A-120)
=1-2sin(2A-60)sin(-60) （和差化积）
=1+2sin60sin(2A-60)
∵B=60度
∴A∈(0,120)
∴2A-60∈(-60,180)
∴sin(2A-60)∈(-sin60,1]
（将sin60的值代入）(A=75时，原式为1）
∴原式的范围是（－1／2，1＋3的开根号〕

Answer 2

acosC,bcosB,ccosA成等差数列
2bcosB=acosC+ccosA=b……（用余弦定理展开）
B=60度
A+C=120度。A、C〉0
C=120-A……（0<A<120）
2(sinA的平方)+cos(A-C)=2(sinA的平方)+cos(2A-120)……（0<A<120）
=1-3/2cos2A+sin120*sin2A
再根据AsinX+BcosX化成Csin（X+&）的形式求得范围