Question

两圆x^2+y^2-10x-10y=0，X^2+Y^2+6X+2y-40=0的公共弦的方程。求过程

谢谢

Answer 1

x^2+y^2-10x-10y=0=(x-5)^2+(y-5)^2=50，
为圆心在(5,5)半径为5√2的圆
x^2+y^2+6x+2y-40=0
为圆心在(-3,-1)半径为5√2的圆
设公共弦两端点为C，D，两圆心分别为A，B
由于两圆相交，连接AB，可得AB垂直公共弦CD
两圆半径相等，故ACBD为菱形，所以CD与AB互相平分，设AB与CD的交点为O
可计算的，AB长为(5,5)与(-3,-1)的距离=10
所以AO=1/2AB=5，AD为半径5√2
勾股定理，DO=5
公共弦CD=2DO=10

Answer 2

两圆方程为x^2+y^2-10x-10y=0，x^2+y^2+6x+2y-40=0，两圆有两个交点
x^2+y^2-10x-10y+m*(x^2+y^2+6x+2y-40)=0是经过两圆的两交点的二次曲线方程（除了x^2+y^2+6x+2y-40=0的圆方程）的集合，
其中也包括了两圆的公共弦的方程，
其公共弦方程为一条直线方程，二次项都为0，即x^2，y^2项系数为0
m=-1才能满足要求，（也就是两方程相减）
这就是要两式相减的原因
所求方程为4x+3y-10=0
两个里面的第二个方程不一样，其中有一个是x^2+y^2-6x+2y-40=0
6x前面是个“-”