Question

已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且二.五.十四项分别是等比数列,{bn}中的第二

已知等差数列｛an｝的首项a1=1,公差d>0,且二.五.十四项分别是等比数列，｛bn｝中的第二，三，四项。（1）求｛an｝｛bn｝的通项公式。（2)若数列｛cn｝对n∈N*,都有c1/b1+c2/b2+...+cn/bn=a(n+1）成立，求c1+c2+...+c2003的值。
要过程，谢谢

Answer 1

a2=a1+d=1+d=b2
a5=a1+4d=1+4d=b3
a14=a1+13d=1+13d=b4
b3^2=b2*b4
(1+4d)^2=(1+d)(1+13d)
16d^2+8d+1=13d^2+14d+1
3d^2-6d=0,因d>0，所以d=2
※an=1+(n-1)*2=2n-1
b2=1+2=3,b3=1+4*2=9,b4=1+13*2=27
公比q=b3/b2=9/3=3,b1=3/3=1
※bn=b1*q^(n-1)=3^(n-1)

c1/b1+c2/b2+...+cn/bn=a(n+1）
a(n+1)-a(n)
=cn/bn=d=2
cn=2*bn=2*3^(n-1)(n>1)
c1=3=2+1
c1+c2+...+c2003
=1+2+c2+...+c2003
=1+2*(3^2003-1)/(3-1)
=3^2003

Answer 2

由等差数列｛an｝的首项a1=1,公差d>0,且二.五.十四项分别是等比数列，｛bn｝中的第二，三，四项知：
（1+4d）/（1+d）=（1+13d）/（1+4d），得到d=2，b1=1，b2=3，b3=9，b4=27
an=2n-1，bn=3^(n-1)

n=1时，c1=a2b1,n=2时，c2=(a3-a2)b2
假设n=k时（K>1），ck=（a（k+1）-ak）bk，当n=k+1时，根据条件有：
a1+a2-a1+a3-a2+...+a(k+1)-ak+c(k+1)/b(k+1)=a(k+2)
即a(k+1)+c(k+1)/b(k+1)=a(k+2)
则c(k+1)=（a（k+2)-a(k+1))b(k+1)
即cn=(a(n+1)-an)bn=2bn(n>1)
cn=3 (n=1)