Question

设f在[a,b]上可导，|f'(x)|<=M且:∫(a,b)f(x)dx=0，证明：max(∫(a,x)f(t)dt)<=(1/8)M(b-a)^2

尽量写详细一些
max|∫(a,x)f(t)dt|<=(1/8)M(b-a)^2

Answer 1

令F(x) = ∫(a,x)f(t)dt, 则知 F 可导且 F'(x) = f(x),且F(a) = F(b) = 0.
由中值定理知道存在a<= c <=b 使得 F'(c)=0。

而F(x)的极大值(此时也就是最大值)会在某个F'(x)=0处取到(边界上为0)，不妨设F(c)就是极大值。F'(c) = f(c) = 0.

|F(c)| = |∫(a,c)f(t)dt|=|∫(a,c)[ f(t)-f(c)]dt|<=∫(a,c)M*|t-c|dt.

而 ∫(a,c)M*|t-c|dt = 1/2*M(c-a)^2

而∫(a,c)f(t)dt + ∫(c,b)f(t)dt = 0, 所以：

|F(c)| = |∫(c,b)f(t)dt|=|∫(c,b)[f(t)-f(c)]dt|<=∫(c,b)M*|t-c|dt.

而 ∫(c,b)M*|t-c|dt = 1/2*M(b-c)^2

所以|F(c)| <= min{ 1/2*M(c-a)^2, 1/2*M(b-c)^2 }<=1/2*M*((a+b)/2-a)^2

即|F(c)| <= 1/8*M(b-a)^2, 当c=(a+b)/2时等号可能取到。