Question

已知微分方程y''=y,求通解

RT，要详细过程
用特征方程来做的都不算啊，要求将y''降次来做

Answer 1

y''=y
y''-y=0
该微分方程对应的特征方程是;
λ^2-1=0,
λ=±1,
特解:
e^x,e^(-x),
所以通解是:
y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)
如楼上的朋友所示
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你说不用特征方程来解,
那猜可以吗??

这是一个二阶的微分方程,
所以只要你知道其中两个特解,
则其通解为其线性组合形式

该二阶微分方程的表示的意思是;
一个函数的二阶导数还是他本身

很容易联想到y=e^x吧
再想一个:y=e^(-x)
y''=e^(-x)

所以两个特解是;e^x和e^(-x)
通解是;
y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)
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你想通过降阶的方法来做,也可以!
对于该微分方程,没有出现自变量
那么对于这种方程F(y,y',y'')=0
可以通过令y'=p,把y为自变量,可以降阶.
令:y'=p,则:y''=pdp/dy
代入原方程有:
pdp/dy-y=0
即;pdp=ydy
一阶微分方程求出来是:
p=+/-根号(y^2+a),(a是常数)
即:
y'=+/-根号(y^2+a)
(这是一个一阶微分方程,你求解吧,好像把问题化难了)
dy/根号(y^2+a)=+/-dx(x是自变量)
求出来是:
ln|y+根号(y^2+a)|=+/-x+lnb(b是大于0的常数)
所以
y+根号(y^2+a)=b*e^(+/-x)
所以
y=b/2*e^x-a/2b*e^(-x)(正负可取)

所以令b/2=C1,-a/2b=C2
则有:
y=C1*e^x+C2*e^(-x)
(C1,C2为常数)
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总结:
很明显,如果这样做,把问题想复杂了!
但对于锻炼思维还是很好的!

不知道这样的解释你是不是满意??

Answer 2

我觉得你们都在浪费楼主的时间，就让我来解答这个问题吧：

这是个不显含x的二阶方程。令p=y'那么原方程变成：
pdp/dy=y
把它们分开分别积分：
pdp=ydy
p^2/2=y^2+C1即：p^2=y^2+C1
即p=√(y^2+C1) （这里只计算正的情况下Y的取值，负号同理）
即dy/dx=√(y^2+C1)
1/√(y^2+C1)dy=dx
两边同时积分。
得到：ln[y+√(y^2+C1)]=x+C2
即：y+√(y^2+C1)=C2e^x
即：√(y^2+C1)=C2e^x-y 两边平方：得到
y^2+C1=C2e^2x-C2ye^x+y^2
约去y^2 移项：
C2ye^x=C2e^2x-C1
即y=C2e^x-C1/C2e^(-x)
即y=C2e^x+C1e^(-x)

这就是降阶的硬方法，没有半点猜测的意思。 其实写下来也不多嘛，就是算得有点辛苦，呵呵。。。。

Answer 3

y''=y
两边同乘以2y'
d(y')^2/dx=dy^2/dx
d[(y')^2-y^2]/dx=0
(y')^2-y^2=C
y'=±√(C+y^2)
dy/√(C+y^2)=±dx
分三种情形讨论，C＜0，C=0，C＞0
1 C＜0
令C=-a^2,则dy/√(y^2-a^2)=±dx
化简为d(y/a)/√[(y/a)^2-1]=±dx
令y/a=sect,可得
dt/cost=±dx
dln(sect+tant)=±dx
即y/a+√[(y/a)^2-1]=e^[±(x+D)]
y/a-√[(y/a)^2-1]=1/e^[±(x+D)]
相加y=acosh(x+D),其中 a=√(-C),D为积分常数
2 C=0
则y'=±y
即y'/y=±1,dlny=±dx
y=e^[±(x+D)],D为积分常数
3 C＞0
令C=a^2,则dy/√(y^2+a^2)=±dx
化简为d(y/a)/√[(y/a)^2+1]=±dx
令y/a=tant,可得
dt/cost=±dx
dln(sect+tant)=±dx
即√[(y/a)^2+1]+y/a=e^[±(x+D)]
√[(y/a)^2-1]-y/a=1/e^[±(x+D)]
相减得y=±asinh(x+D),
令±a=b，化为y=bsinh(x+D),其中 a=√C,D为积分常数

综上所述，函数y的二阶导数是y本身，y的函数形式是：acosh(x+D),e^[±(x+D)],bsinh(x+D),
分别是双曲余弦，对数函数和双曲正弦形式，依据初值条件可以定出积分常数。

Answer 4

原方程就是
(y'+y)'-(y'+y)=0
所以若把y'+y看成一个整体z的话，就是z'-z=0了
也就是(ze^(-x))'=0，当然就有ze^(-x)=C1，z=C1*e^x，其中C1为任意常数
所以得到了y'+y=C1*e^x，算是降了一次
原方程还可以写成(y'-y)'+(y'-y)=0
那么仿照上面的方法，把y'-y看成一个整体，可以解得y'-y=C2*e^(-x)
现在有了y'+y=C1*e^x，y'-y=C2*e^(-x)，相减就有
y=(C1*e^x-C2*e^(-x))/2
或者写成y=K1*e^x+K2*e^(-x)，K1 K2为任意常数

这实际上就是特征根法的原理啦，不知lz满意不

Answer 5

不用特征方程法，就得用最基本的方法了。
y"-y'+y'-y=0
y"+y'-y'-y=0
设p=y'+y, 那么就有 p'-p=0
dp/dx=p
分离变量：dp/p=dx
两边积分：lnp=x+C1
p=e^(x+C1)
令2A=e^C1, 得y'+y=2Ae^x …………………………………………………………（1）

再设q=-y'+y, 有q'+q=0
dq/dx=-q
分离变量：dq/q=-dx
两边积分：lnq=-x+C2
q=e^(-x+C2)
令2B=e^C2, 得-y'+y=2Be^(-x) ………………………………………………………（2）

[(1)+(2)]/2得 y=Ae^x+Be^(-x)