求教两个关于导数的题目,
题目本身可能存在问题最好有详细过程,谢!1.y=x^x,求y'和(0,+∞)的极小值2.y={x^(1/2),x>=0-[(-x)^(1/2)],x<0}证明此函数单调递...
题目本身可能存在问题
最好有详细过程,谢!
1. y=x^x,求y'和(0,+∞)的极小值
2.y={ x^(1/2) ,x>=0
-[(-x)^(1/2)],x<0}
证明此函数单调递增 展开
最好有详细过程,谢!
1. y=x^x,求y'和(0,+∞)的极小值
2.y={ x^(1/2) ,x>=0
-[(-x)^(1/2)],x<0}
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3个回答
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第一题为幂指函数,首先将x^x化为e^(xlnx)
所以y` = e^(xlnx) * (xlnx)`
= e^(xlnx) * (lnx + x * 1/x)
= e^(xlnx) * (lnx + 1)
= x^x * (lnx + 1)
令导数等于零,得出 x = 1/e ,因为x^x大于零,lnx + 1单调递增,所以 x = 1/e 为极小值点,所以y的极小值为 (1/e)^(1/e) = e ^ (-1/e)
2.下面第二题
分段函数需要分段求导,间断点单独讨论
所以y`= 1/2 * (x^(-1/2)) x>0
1/2 * ((-x)^(-1/2))x< 0
由于间断点的左右极限相同,都为0,所以函数在0点连续。
所以下面只需要讨论导数是否大于零即可证明函数单调。
有幂函数的定义,显然导数在x∈R时均大于0 ,所以函数单调递增
所以y` = e^(xlnx) * (xlnx)`
= e^(xlnx) * (lnx + x * 1/x)
= e^(xlnx) * (lnx + 1)
= x^x * (lnx + 1)
令导数等于零,得出 x = 1/e ,因为x^x大于零,lnx + 1单调递增,所以 x = 1/e 为极小值点,所以y的极小值为 (1/e)^(1/e) = e ^ (-1/e)
2.下面第二题
分段函数需要分段求导,间断点单独讨论
所以y`= 1/2 * (x^(-1/2)) x>0
1/2 * ((-x)^(-1/2))x< 0
由于间断点的左右极限相同,都为0,所以函数在0点连续。
所以下面只需要讨论导数是否大于零即可证明函数单调。
有幂函数的定义,显然导数在x∈R时均大于0 ,所以函数单调递增
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1、利用指数恒等式,x^x=e^(lnx^x)=e^(xlnx),再利用复合函数求导法则去求;至于最小值,导数求出来了,令它等于零,求出根再代入x^x中即得;2、看x<0时的解析式可知其图象与x>0时的图象关于原点对称,故只须证大于零的情况
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(1)采用对数求导法:y=x^x lny=xlnx (1/y)*y'=lnx+1 y'=(lnx+1)*y=(lnx+1)*x^x
因为x>0所以当y'=0时,lnx+1=0所以x=1/e
因为x>0所以当y'=0时,lnx+1=0所以x=1/e
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