Question

抛物线y=-x^2/2与过点M（0，-1）的直线l交于A，B两点，o为原点，若OAHE OB的斜率之和为1，求直线L的方程

Answer 1

抛物线y=-x^2/2与过点M（0，-1）的直线l交于A，B两点，o为原点，若OAHE OB的斜率之和为1，求直线L的方程
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回答：
设直线方程为y-(-1)=k(x-0)
亦即y=kx-1(1)
A(x1,y1)B(x2,y2)
kOA+kOB=y1-0/x1-0+y2-0/x2-0=x1y2+x2y1/x1x2=2kx1x2-(x1+x2)/x1x2（3）
y=-x^2/2(2)
连立（1）（2）两个式子，可以得到
x^2+2kx-2=0
由韦达定理可知
x1+x2=-b/a=-2k
x1x2=-2
带入（3），并整理可得k=1
所以直线L方程为y=x-1

Answer 2

由题意，
（1）若直线L的斜率不存在，则不符合题意，所以直线存在斜率。

（2）设直线的斜率为k，

（1）若k＝0 ，A，B两点坐标为（根2，－1） （－根2，－1）

kOA=-根2/2 kOB=根2/2 相加和为0，不和题意

（2）k不为0 ，直线L的方程可设为 kx－y－1＝0
联立直线方程与抛物线方程，

kx－y－1＝0
y=-x^2/2

可得 x^2＋2kx－2＝0

kOA＋kOB＝ yA/xA +yB/xB =1

= (yAxB+yBxA)/xAxB

xAxB= -2

yAxB+yBxA= 2kxAxB-（xA＋xB）＝－2×2＋2k ＝－4＋2k

即： 2－k ＝1

k= 1

L的方程为 x－y－1＝0

前面关于斜率的讨论虽然繁琐，但却是不可缺少的步骤，关于这类求方程的问题，基本思路就是先讨论斜率（除非题目中告诉斜率的范围），然后联立方程
求解。