Question

总结线性代数中求可逆矩阵的方法

Answer 1

初等变换就3种.
1. E12 就是吧12行（列）互换
2. E12(K)就是把第1行（列）的K倍加到第2（行）
3. E1（K）就是把第1行都乘上K
----------------------------------然后了解如何化最简型--------------------------------------
怎样化行最简：
这个其实很简单,一步一步来不要话错了就行了.无非就是要化成阶梯形,然后再把阶梯开头的元素化为1,他头顶上的元素化为0嘛
比如一个4阶矩阵.
首先你要把第一列,除了第一个元素都化成0.那么显然,就是用第二行,第三行,第四行,去减第一行的k倍.假设.第一行是（1,2,3,4）第二行第一个元素是3,那么你用第二行减去第一行的3倍的话,头一个元素不就肯定是0了吗.然后假设第三行第一个元素是4,那么就是第三行减去第一行的4倍.同理第四行也是一样的.此时你只要关注第一列的元素就行了,全力把他们化为0.等到完成的时候,矩阵就变成
1 2 3 4
0 * * *
0 * * *
0 * * *
这样就出来一个阶梯了对吧.
下面就是重复上面的工作.不过.不要在整个矩阵里面进行了,因为如果你带着第一行算的话,前面的0就肯定会被破坏了.下面你就直接在* 的那个3阶矩阵里面进行.把原来的第二行 0 * * *当作第一行来化下面的,
完工之后就是
1 2 3 4
0 * * *
0 0 * *
0 0 * *
不就又出来一个阶梯吗.
反复这么做最后就化成
1 2 3 4
0 * * *
0 0 * *
0 0 0 *
这个就是阶梯形了吧.
然后化最简形就很简单了.用初等变化的第3条.显然我们可以吧最后一行的那个*除以他自己变成1
1 2 3 4
0 * * 4
0 0 * 4
0 0 0 1
然后他头上的数,不论是多少都可以写成0,因为不论是多少,总可以化为0吧,如果是2012,就减去第四行的2012倍嘛,反正第四行只有一个1,前面都是0,怎么减都不会影响到前面的行
这样就化成了
1 2 3 0
0 * * 0
0 0 * 0
0 0 0 1
很显然,重复上面的过程就可以了,现在只要把第三行的那个*,除以自己,变成1,然后他头上的也就全可以化为0了

Answer 2

1.Gauss消去法(LU)
2.正交消去法(QR)
3.古典迭代法(Jacobi,Gauss-Sedel,SOR,HSS,Richardson...)
4.Krylov子空间方法(CG,GMRES,MinRES,BiCG,...)
5.Sherman-Morrison公式
6.Cramer法则
7.Bezout消去法
……
自己看情况选吧，每种方法都有适用的场合。

Answer 3

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

Answer 4

实用中我就用matlab 和excel ，方便精确，哈