Question

为什么说：定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和或差”？

Answer 1

证明如下：

设任一定义在关於原点对称的区间的函数F(x)

再设G(x)=F(-x)。

令f(x)=F(x)+G(x), g(x)=F(x)-G(x)

则有：f(x)-f(-x)=F(x)+G(x)-=F(x)+F(-x)-F(x)-F(-x)=0

故f(x)为偶函数。

同理：g(x)+g(-x)=F(x)-G(x)+=F(x)-F(-x)+F(x)-F(-x)=0

故g(x)奇为函数。

於是F(x)就可以表示为：

F(x)=/2,其中f(x)，g(x)分别为偶函数和奇函数。

函数奇偶性

奇函数在其对称区间［a,b]和［-b，－a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间［a,b]上是增函数（减函数），则在区间［-b，－a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间［a,b]和［-b，－a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间［a,b]上是增函数（减函数），则在区间［-b，－a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能代表其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

Answer 2

因为真的可以啊。。。= =

证明如下：
设任一定义在关於原点对称的区间的函数F(x)
再设G(x)=F(-x)
令f(x)=F(x)+G(x), g(x)=F(x)-G(x)
则有：f(x)-f(-x)=F(x)+G(x)-[F(-x)+G(-x)]=F(x)+F(-x)-F(x)-F(-x)=0
故f(x)为偶函数
同理：g(x)+g(-x)=F(x)-G(x)+[F(-x)-G(-x)]=F(x)-F(-x)+F(x)-F(-x)=0
故g(x)奇为函数
於是F(x)就可以表示为：
F(x)=[f(x)+g(x)]/2,其中f(x)，g(x)分别为偶函数和奇函数