Question

函数y=x(1-x^2)(0<x<1)的最大值是

函数y=x(1-x^2)(0<x<1)的最大值是
用高中方法，不要求导的~

y=sin（a）*cos^2（a）这个我也想到了，问题是接下来怎么算出来呢？

Answer 1

使用函数单调性证明的方法
x1,x2∈(0,√3/3] x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1-x1^3-(x2-x2^3)
=(x1-x2)-(x1^3-x2^3)
=(x1-x2)-(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2)
=(x1-x2)(1-x1^2-x2^2-x1x2)
x1>x2 x1-x2>0
x1^2+x2^2+x1x2<=(√3/3)^2+(√3/3)^2+(√3/3)^2=1
1-x1^2-x2^2-x1x2>=0
所以f(x1)-f(x2)>=0
f(x)在(0,√3/3]上单调递增
同理可证f(x)在[√3/3,1)上单调递减
所以取最大值时x=√3/3 y=√3/3*2/3=2√3/9