Question

已知数列{an}的前n项和为sn,且满足an+2sn×s(n-1)=0(n≥2),a1=1/2,求通项公式。

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn×S(n-1)=0(n≥2),a1=1/2,求通项公式。
要过程，谢谢啦

Answer 1

先求Sn通项:
an+2Sn×S(n-1)=(Sn-S(n-1))+2Sn×S(n-1)=0
所以Sn=S(n-1)/(1+2S(n-1))

求出Sn前5项
S1=1/2, S2=1/4, S3=1/6, S4=1/8, S5=1/10
猜想Sn=1/(2n), 用数学归纳法证明
(1)S1=1/2=1/(2×1)
(2)假设Sk=1/(2k)成立, 那么
S(k+1)=Sk/(1+2Sk)=(1/(2k))/(1+2/(2k))=1/(2k+2)=1/(2(k+1))
综合(1)(2), 可得Sn=1/(2n)恒成立

通项a1=1/2, an=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2) (n≥2)