Question

帮忙解一下这个微分方程

(ds/dt)=-scost+(1/2)sin2t

谢谢谢谢！！！！！

Answer 1

好久没上来了，当一次好人吧。

这个是用常数变易法解的方程。

首先，解(ds/dt)=-scost这个方程，结果是s=e^(-sin t)*g，
其中g是一个常数。

然后把常数g变成一个关于t的函数g(t)，上面的解就写成：
s=e^(-sin t)*g(t)。[记作方程*]
在方程*中，可以找到一个合适的g(t)使得原方程成立。

方程*两边对t求导，有：
(ds/dt)=g'(t)e^(-sin t)-e^(-sin t)*g(t)*cost
=g'(t)e^(-sin t)-s*cost ,其中g'(t)是g(t)的导数

只要找到一个g(t)满足g'(t)e^(-sin t)=(1/2)sin2t
就可以了。g'(t)e^(-sin t)=(1/2)sin2t 这个微分方程很容易可以
解出：g(t)=(sint-1)e^(sint)+A，其中A是常数。

于是，原方程的解就是：
s=(sint-1)+A*e^(-sint)。

就是这样了。

Answer 2

用公式 先移项s'+scost=(1/2)sin2t
然后用一阶微分方程的公式
s=e^(-sint)[C+积分号(1/2sin2te^sint)dt]
=e^(-sint)(C+积分号sintde^sint)
=e^(-sint)(C+sinte^sint+e^sint)
=Ce^-sint+sint+1