Question

离散数学 等价关系

含有三个元素的集合，可以确定几种等价关系？
为什么？

Answer 1

集合上每个等价关系对应集合的一种划分,集合的每一种划分又对应于该集合的一个等价关系,不同的等价关系对应于集合的划分也不同,因此集合有多少不同划分,就有多少不同等价关系,三个元素的集合共有5种不同划分,(含有1块和3块各有1种,含有2块有3种),故含有三个元素的集合，可以确定5种等价关系.
如A={1，2，3}，则5种不同划分为
{{1}, {2}, {3}};{{1}, {2,3}};{{1,3}, {2}};{{1,2}, {3}};{{1, 2, 3}};
对应的等价关系为
R1={(1,1),(2,2),(3,3)};R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)};
R3={(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(3,3)};
R4={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)};
R5={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)};
一般地,对有n个元素的集合有Bn种不同的划分(等价关系),Bn称为Catalan数
Bn=2n!/((n+1)n!n!),如4个元素的集合，可以确定14种等价关系.

Answer 2

设A={1，2，3}，x,y,z属于集合A，且x，y,z互不相等。则有：
R1={<X,X>}
R1是对称的，是自反的，是传递的，所以R1是A上的等价关系。
这种类型的有3种

R2={<X,X>,<Y,Y>}这种类型，有3种。

R3={<x,y>,<y,x>,<x,x>,<y,y>}有3种

R4 ={<x,x>,<y,y>,<z,z>} 1种

R5 ={<x,y>,<y,x>,<x,x>,<y,y>,<z,z>} 3种

R6={<x,y>,<y,x>,<x,z>,<z,x>,<y,z>,<z,y>,<x,x>,<y,y>,<z,z>} 1种。

综上，得出14种。
当然，前提是该等价关系是二元关系。
如果不排除三元，那还得再算，用类似的方法就可以算下去了。
解题思路在于理解等价关系的定义。还好元素少，如果元素多，“排列与组合”知识也要用上。