Question

线性代数的证明题

设n阶矩阵A=(aij)的特征值为 λ1, λ2, …… λn，证明：
(1)λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann;
(2)λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜.
没有，书上没有给出证明，所以我才来提问的

Answer 1

特征方程|λEn-A|=0的根为λ1, λ2, … λn
则|λEn-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=λ^n-(∑λi)λ^(n-1)+…+(-1)^n(∏λi)
取λ=0，即得|-A|=(-1)^n(∏λi)
因而|A|=∏λi，即λ1 •λ2 •…•λn＝｜A｜

再根据行列式定义可得，
|λEn-A|=(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
=λ^n-(∑aii)λ^(n-1)+…+{(n!-1)个不含λ^n和λ^(n-1)的项}
比较上面两个|λEn-A|的两个展开式中λ^(n-1)的系数，即得
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann

Answer 2

考虑矩阵A的特征多项式｜λE-A｜，这是一个行列式，其中不在主对角线上的元素为-aij,(i≠j)，在主对角线上的元素为λ-aij,(i=j)
其展开式中，主对角线上的元素乘积为(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann)
展开式中其余各项至少包含n-2个主对角线上的元素，因此关于λ的次数最多是n-2。所以特征多项式中含有λ^n和λ^(n-1)的项只能出现在主对角元素的连成积中，它们是λ^n-(a11+a22+…+ann)λ^(n-1)
而在特征多项式中，只需令λ=0即得常数项为｜-A｜=[(-1)^n]｜A｜
因此A的特征多项式必定形如
f(λ)=λ^n-(a11+a22+…+ann)λ^(n-1)+…+[(-1)^n]｜A｜
现设A的n个特征的多项式值为λ1, λ2, …… λn，根据n次多项式根与系数的关系
λ1 ＋λ2 ＋……＋λn＝a11＋a22＋……＋ann，λ1λ2…λn＝｜A｜
由此还可以得到A有零特征根的充分必要条件为｜A｜=0，即A不可逆

这道题是一道比较抽象的证明题，在不知如何如手时可以先将已知条件表示成数学表达式，然后看看结论需要什么样的表达式，两头推理，这样有助于找到思路

Answer 3

你疯了吧，书上有的，这个谁能证明，谁NB