Question

谁会解这道线性代数的题啊?

1.Dn={A1-x A2 ... An
A1 A2-x ... An
... ... ... ...
A1 A2 ... An-x }
求Dn

2.Dn={1+A1 1 ... 1
2 2+A2 ... 2
... ... ... ...
n n n n+An}
其中A1*A2*...*An不等于0

Answer 1

1、把第2行乘以-1加到第1行，第3行乘以-1加到第2行，…，第n行乘以-1加到第n-1行，得到Dn=
-x x 0 …… 0 0
0 -x x …… 0 0
……
0 0 0 ……-x x
A1 A2 A3 ……An-1 An
再把第1列加到第2列上，得到的第2列加到第3列上，…，得到的第n-1列加到第n列上,Dn=
-x 0 0 …… 0 0
0 -x 0 …… 0 0
……
0 0 0 …… -x 0
A1 A1+A2 ……A1+A2+…An-1 A1+…An-x
这是一个下三角阵，则
Dn=[(-x)^(n-1)]*(A1+…An-x)

2、n=1时，Dn=1+A1
n>1时
把第n列乘以-1分别加到前n-1列上，Dn=
A1 0 0 …… 0 1
0 A2 0 …… 0 2
0 0 A3 …… 0 3
……
0 0 0 ……An-1 n-1
-An -An -An……-An n+An
按第一行展开，有第一项A1和最后一项1，和A1对应的符号为(-1)^(1+1)=1,以及一个下三角行列式，和1对应的符号为(-1)^(1+n)，以及一个n-1阶行列式，将这n-1阶行列式再按第一列展开，只有一项-An，符号(-1)^(n-1+1)，以及相应的一个下三角阵。所以
Dn=A1*A2*…An-1*(n+An)+[(-1)^(1+n)]*[(-1)^(n-1+1)]*(-An)*A2*…An-1
=nA1*…An-1+A1*…An+A2*…An