Question

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) a属于R

（1）若函数f(x)在[2,正无穷)上为单调增函数，求实数a的取值范围。

（2）若a=1,试在函数f(x)的图像上求两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]上.

Answer 1

很简单
解：(1)对于函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)
其一次导函数为f'(x)=(ax-1)/(x+1)
二次导函数为f''(x)=(a+1)/(x+1)²
易知
当a>-1时，f'(x)单调递增，所以只需要f'(x)≥f'(2)≥0即可
解得a≥1/2
当a≤0时，f'(x)单调递减，当x→+∞时，limf'(x)=a≥0,只能有a=0
但代入a=0,f(x)=-ln(x+1),单调递减，与题设矛盾，故舍去
所以谈耐a≥1/2时候，f在[2,+∞)单调递增
(2)如果在f(x)上过两点的切线垂直，则设这两点为(x1,y1),(x2,y2)
则f'(x1)*f'(x2)=-1
又a=1,则f'(x)=(x-1)/(x+1)，f(x)=x-2ln(x+1)
代耐逗入上式整理得到：x1*x2=-1
根据两切点的横坐标必须居于区间[-1/含亩春2,2]
则若x1>-1/2,则x2>2,同理，x2<2也不成立
因此可以得到x1=-1/2,x2=2
点(-1/2,-1/2+2ln2),(2,2-2ln3)即为所求

Answer 2

f'(x)=a-(a+1)/(x+1)
[2,正无穷)上为单调增函数。
则可知当x=2时，f'(x)=a-(a+1)/(x+1)>=0即可
所以
a-(a+1)/(2+1)>=0
a>=1/2

若a=1，则
过这点的切线圆举斜率为：
1-2/(x1+1)，1-2/(x2+1)
这两点为切点的切线互相垂直
则[1-2/(x1+1)]*[1-2/(x2+1)]=-1
则：x1x2=-1
而两切点的横坐标均在区间[-1/2,2]。所以
可盯腔宽求得只有x=-1/2，x=2。（凯亮当x1从-1/2增加时，另一根x2将超过2.）

Answer 3

a<>1