Question

设双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1(B>A>0)的半焦距为C

直线L过(A,0),(0,B),已知原点到直线的距离是根号3C/4,双曲线的离心率是__
答案是2,求过程

Answer 1

c^2=a^2+b^2
c=√(a^2+b^2)

L是x/a+y/b=1
bx+ay-ab=0
原点到L距离=|0+0-ab|√(a^2+b^2)=√3c/4
|ab|/c=√3c/4
ab=√3c^2/4
a^2b^2=3c^4/16
b^2=(c^2-a^2)
所以a^2(c^2-a^2)=3c^4/16
3c^4-16a^2c^2+16a^4=0
(c^2-4a^2)(3c^2-4a^2)=0
c^2=4a^2或c^2=4a^2/3
所以c^2/a^2=4或4/3
所以e=c/a=2或e=2√3/3