Question

数学问题。求解 过程谢谢

当b>0时，求证：b^b≥(1/e)^(1/e)

Answer 1

求证一般不等式的基本方法是辅助函数法
将不等号两边同时取对数
不等式变成
blnb≥-(1/e)
然后右边的移动到左边
设辅助函数F=blnb+(1/e)是关于b的函数
对b求导 令其等于零 得到极值点 b=1/e b>0
对b求二阶导数 将1/e 带入 得到二阶导数大于零 说明极值点是极小值
将此极值点带入 辅助函数中 F=0
F是单调递增 所以 F≥0
所以blnb≥-(1/e)
所以b^b≥(1/e)^(1/e)

证毕

Answer 2

先对y=x^x求导,可知其的极值点为x=1/e,
再求二阶导,可知该点为极小值点
所以x^x的最小值为(1/e)^(1/e)
故当b>0时,b^b≥(1/e)^(1/e)