Question

求不定积分∫arctanxdx

如题目∫arctanxdx怎样做
我是这样做的：u=arctanx dv=dx
du=1/(1+x^2)dx v=x
然后arctanx*x- ∫x*1/(1+x^2)dx
∫x*1/(1+x^2)dx这一步就不会解了 请详细说明

Answer 1

引用：∫x*1/(1+x^2)dx这一步就不会解了 请详细说明如下
∫x*1/(1+x^2)dx=(1/2）∫（1/(x^2+1)）d(x^2+1)=（1/2）ln(x^2+1)
所以有原式∫arctanxdx=arctanx*x-（1/2）ln(x^2+1)+c

PS:本题目你采用分部积分是正确的，做积分类题目注意要灵活，此题目也可以用替换变量也可实现，可能复杂一些，建议还是用上述方法较好，还有就是熟能生巧，解题多了自然就领会了

Answer 2

此题是分部积分法的标准类型，做法没有问题。分部以后得到的∫x*1/(1+x^2)dx是第一类换元法的形式，因为分子x与分母1+x^2的导数之间只是相差一个常数2，所以

∫x*1/(1+x^2)dx＝1/2×∫1/(1+x^2)×2xdx＝1/2×∫1/(1+x^2)×(1+x^2)'dx＝1/2×∫1/(1+x^2)d(1+x^2)＝1/2×ln(1+x^2)＋C

所以，∫arctanxdx＝xarctanx－1/2×ln(1+x^2)＋C

Answer 3

令y=x^2，则dy=2xdx，往里面代就可以了。