Question

f`(X)=0与X点有极值的关系

即说出是充分条件或是必要条件或两者都不是

Answer 1

既不是充分条件也不是必然条件

例如y = |x|,在(0,0)点导数不存在,但(0,0)点为函数y = |x|的极小值点
又如f(x) = x^3 , (0,0)点导数为0,但这不是极值点

所以,导数为0的点(驻点)只是极值嫌疑点,不一定是极值点,极值点也不一定是导数为0的点,也有可能是导数不存在的点

导数为0是指函数在该点的切线的斜率为0
极值点：设X0是f(x)的(局部）极值点，且f(x)的导数存在，则f(x)的导数为0，但f(x)的导数为零并不意味着X0是极值点。只有当在X0的左边，f(x)的导数大于0（小于0），而在X0的右边，f(x)的导数小于0（大于0）时，X0是极大（小）值点

高等数学对极值的定义 若对点x0的某个邻域内所有x都有f(x)≤(f(x0),则称f在x0具有一个极大值,极大值为f(x0).反之,为极小值.“极大”“极小”是一个局部性的概念

Answer 2

不是充分条件，比如y=x^2在x=0处 导数为0，但不是极值点。常数函数y=0 所有点导数都为0，但没有极值。
也不是必要条件，比如y=|x|有极值，但没有一点导数为0.

Answer 3

充分不必要条件

Answer 4

一楼正解，一处笔误。
二楼五楼小错。
三楼四楼六楼大错。

Answer 5

都不是
零点不一定是极值点，如y=x^3在x=0处导数y'=3x^2=0,但(0,0)不是极值点
极值点也不一定是零点，可能是导数不存在的点

Answer 6

极值存在的必要条件定理：若f(x)在Xo点取得极值，并且f(x)在Xo点,则f’(Xo)=0。

导数为零的点称为驻点。驻点有可能是极值点，也可能不是。
例如x=0是函数y=x^2和 y=x^3的驻点，但x=0是y=x^2的极小值点，不是y=x^3的极值点。

极值点只可能是驻点或不可导点。