Question

求解高数题，急~~~

设∑是由三个坐标面和X+Y+Z=1所围成的四面体的整个边界曲面，计算
∮∮xyzds。
∑
要有过程！！！！

Answer 1

把∑分为四个面。其中三个是三个坐标面上的直角三角形区域，在这三个面上，被积函数都是0，所以积分都是0。另外一个面∑1是平面x+y+z＝1上的等边三角形区域。
∑1的方程是z＝1－x－y，αz/αx＝－1，αz/αy＝－1，所以ds＝√3dxdy
∑1在xy面上的投影区域是D：x+y≤1，x≥0，y≥0
所以，∫∫(∑)xyzds＝∫∫(∑1) xy(1-x-y)×√3dxdy＝√3×∫(0～1)dx∫(0～1-x) xy(1-x-y)×dy＝√3/120

Answer 2

用微元法 将ds=根号(1+Z对x求导后的平方+Z对y求导后的平方)dxdy带入
目的是将第一类曲面积分化成第二类曲面积分 然后化成累次积分
原式=∮∮(根号3)xydxdy
=∮(0到1)dx∮(0到x)(根号3)xydy
=(根号3)/8