Question

已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1,1],m+n≠0，f（m）+f（n）/m+n >0

（1）用定义证明f（x）在其定义域上是增函数
（2）解不等式f（x+ 1/2）<f（2x+1）
（3）若f（x）≤t^2 -2at +1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立，求实数t的范围。

请详解解题过程

Answer 1

(1)令x2>x1,即x2-x1>0
则:[f(x2)+f(-x1)]/[x2+(-x1)]>0
[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)>0
（因为f(x)是奇函数）
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
所以f（x）在其定义域上是增函数

(2)由f(x)是定义在[-1,1]上的函数
-1<x+1/2<1 得：-3/2<x<1/2
-1<2x+1<1 得： -1<x<0
由f（x）是增函数
x+1/2<2x+1 得： x>-1/2
因此 -1/2<x<0

(3)由f（x）≤t^2 -2at +1
x∈[-1,1]
f(x）的最大值f(1)<t^2 -2at +1
即：1≤t^2 -2at +1
0≤t^2 -2at
t=0时显然成立
（t=0,t^2 -2at=0）
t>0时
2at≤t^2
2a≤t
a≤t/2
又对所有a∈[-1,1]
1≤t/2
2 ≤t

t<0时
t/2≤a≤-1
t≤-2
因此: 2 ≤t或t=0或t≤-2