Question

高一数学题~~~

已知函数f(x)=(x-2)/(ax+1) (a>1,x∈R,x≠-1/a)

(1)试问：该函数的图像上是否存在不同的两点，它们的函数值相同，请说明理由。

(2)若函数F(x)=a^x+f(x)，试问：方程F(x)=0有没有负根，请说明理由。

Answer 1

1）
f(x)=[(1/a)*(ax+1)-1/a-2]/(ax+1)=1/a-（1/a+2）/（ax+1）.
f(x)在区间（负无穷，-1/a）和（-1/a，正无穷）分别单调递增，值域分别为（1/a,正无穷）和（负无穷，1/a），所以f（x）的函数值都不相同，即不存在不同的两点，它们的函数值相同

2）令F（x）=f（x）+a^x=1/a-(1/a+2)/(ax+1)+a^x=0,移项整理得：
(ax+1)=(1/a+2)/(1/a+a^x).设有负根，则左边（ax+1）<1,而右边a^x<1,（1/a+a^x）<(1/a+1),(1/a+2)/(1/a+a^x)>(1/a+2)/(1/a+1)>1;
由上面的分析有，如果有负根，则等式(ax+1)=(1/a+2)/(1/a+a^x)左边小于1右边大于1，矛盾。所以没有负根。

Answer 2

设存在不同的两点x1,x2.
x1-2/ax1+1=x2-1/ax2-1,(x1-x2)(1-2a)=0,a>1,x1-x2=0,所以不存在这样的两点。

Answer 3

设过点P的直线与直线2x-y-3=0的交点是A(a,2a-3)，与直线x+y+3=0的交点是B(b,-b-3)，则由点为线段AB的中点得
a+b＝6，2a-b－6＝0，所以a＝4，b＝2
所以，点A(4,5)，B(2,-5)，直线AB的斜率k＝5
所以所求直线的方程是y＝5(x-3)，即5x－y－15＝0