Question

相对论间隔不变性

本人大四学生,当时没好好学，囫囵吞枣。今天看相对论,间隔不变性怎么理解,什么是间隔,有什么物理含意

Answer 1

四维时空间隔不变性，相当于四维时空中的矢量长度在惯性坐标系之间的坐标变换不变性。Lorentz变换可以看作是四维时空坐标系的旋转，四维时空矢量在坐标系的旋转下其长度保持不变。当然这也可以等价地看作，四维时空坐标系不动，而四维时空矢量在旋转，矢量旋转时，矢量长度不变。由空间解析几何知道，从坐标原点(,0,0,0,0)指向坐标(x,y,z,ct)的四维时空矢量长度对应（注意到四四维时空遵从闵可夫斯基几何而不是四维欧氏几何，因此时间项前面是减号而不是加号）
x^2+y^2+z^2-(ct)^2的平方根。这个平方根不变，其平方x^2+y^2+z^2-(ct)^2本身当然不变。

Answer 2

本人刚毕业，以前非常喜欢爱恩斯坦的相对论，但对于广义相对论，本人就不太熟悉，你所说的应该是夹义相对论吧。你可以把问题说的更具体些吗？是哪章的？请说详细点。

Answer 3

闵可夫斯基空间推导
我们从空间坐标变换说起。我们知道，平面解析几何中的坐标变换式是：
x'=xcosφ+ysinφ
y'=-xsinφ+ycosφ
借助矩阵的形式，我们可以把上式写成：
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1'│ │a11 a12││x1│
│ │=│ ││ │
│x2'│ │a21 a22││x2│
└ ┘ └ ┘└ ┘
这里的变换矩阵
┌ ┐ ┌ ┐
│a11 a12│ │cosφ sinφ │
│ │=│ │
│a21 a22│ │-sinφ cosφ │
└ ┘ └ ┘
是一个正交矩阵，因此这样的坐标变换能保证任意两点间距离不变。
从这里只要一步就可以跨进狭义相对论。我们把时间t乘以一个因子ic，这里c是具有速度量纲的一个常数，那么ict就有了长度的量纲（不过它的数值是虚的）。这个ict就作为与
三维空间的三个坐标相并列的第四维度，并且规定在坐标变换（实际上就是从一个惯性系变换到另一个惯性系）时，变换矩阵必须是正交的。比如，我们常见的洛仑兹变换：
x'=(x-vt)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)
y'=y
z'=z
t'=(t-vx/c^2)/ (1-v^2/c^2)^(1/2)
如果把x、y、z依次记为x1、x2、x3，又记ict为x4，写成矩阵的形式就是：
┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐
│x1'│ │ γ 0 0 iβγ ││x1│
│x2'│=│ 0 1 0 0 ││x2│
│x3'│ │ 0 0 1 0 ││x3│
│x4'│ │-iβγ 0 0 γ ││x4│
└ ┘ └ ┘└ ┘
上式中，β=v/c，γ=1/√1-v^2/c^2 。这么一来，“时空统一”看起来是不是清楚多了？
在这样的正交变换之下，有一个叫做“四维间隔”的东西是守恒的。如果记间隔为s，那么
s^2＝（x1）^2+（x2）^2+（x3）^2+（x4）^2＝r^2－(ct)^2
这个“四维间隔”，也就是四维时空中两点（准确地说应该叫做“时空点”）间的“距离”。上式最右边的r是空间上的距离，t是时间上的距离。
与此同时，c就成了四维时空中一个非常独特的速度。
假如：
在某个惯性系S1看来，一个物体从A地匀速运动到B地，历时t1，穿越距离r1；
而在另一惯性系S2中，这一物体从A地到B地，历时t2，穿越距离r2；
那么在这两个惯性系中，“物体从A地到B地”所经历的“四维间隔”的平方分别是
s1^2=r1^2-(ct1)^2
和
s2^2=r2^2-(ct2)^2。
倘若在S1系中此物体速度为c，那么r1/t1=c，于是s1=0。则经过时空坐标的变换后必有s2=0即r2/t2=c，也就是说这一物体在S2系中的速度也是c。换句话说，只要时间t以一个固定的常数c（不管这是不是光速！）与空间相联系，那么以c为速度的物体在一切惯性系中的速度都是c。
前提是洛沦兹变换成立，C不为0。

同时这个变换表明，其它波速，比如声速的空间变换也成立。