Question

已知实数x,y满足关系:x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是

请写出过程，谢谢

Answer 1

(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=25
(x-1)^2+(y+2)^2=25
令x=1+5cosa
代入
(5cosa)^2+(y+2)^2=25
(y+2)^2=25-25(cosa)^2=25(sina)^2
因为sina值域关于0对称
所以不妨令y+2=5sina
y=-2+5sina

x^2+y^2=25(cosa)^2+10cosa+1+25(sina)^2-20sina+4
=25+10cosa-20sina+5
=-10(2sina-cosa)+30
=-10*√(2^2+1^2)*sin(a-z)+30
=-10√5sin(x-z)+30
其中tanz=1/2
所以最小值=-10√5+30

Answer 2

原式进行化简，可以得出（x-1）^2+(y+2)^2=25
于是有x-1=3 y+2=4 有 x=4 y=2
或是x-1=4 y+2=3 有 x=5 y=1

可知最小值是20

Answer 3

化简得 （x-1）^2+(y+2)^2=25
X^2+Y^2最小值 即为原点到圆上点的最小值
计算圆心到原点距离减去半径差的平方即为所求值