Question

已知f（x）=（4x^2-7)÷(2-x) 0≤x≤1，求f（x）的单调区间和值域

如题~~高二的知识~~过程
不要换元，利用导数的公式做

Answer 1

令2-x=t，1≤t≤2
f（t）=(4*（2-t）^2-7)/t
=4t+9/t-16
当4t=9/t时，t=1.5则x=0.5
∴x∈[0，0.5]递减，（0.5，1]递增
f（0）=-3.5，f（1）=-3，f（0.5）=-4
∴值域为[-4,-3]

f'(x)=(8x(2-x)+(4x^2-7))/(x-2)^2
令f'(x)=0
得到4x^2-16x+7=0
x=3.5,x=0.5
x∈[0，0.5],f'(x)<0,f(x)递减
x∈（0.5，1],f'(x)>0,f(x)递增
f（0）=-3.5，f（1）=-3，f（0.5）=-4
∴值域为[-4,-3]

Answer 2

利用换元法
设t=2-x, 0≤x≤1
x=2-t ,1≤t≤2

原式 y=[4(2-t)^2-7]/t, 1≤t≤2
化简y=4t+(9/t)-16
当且仅当4t=(9/t)时
y有最小值
此时
t=3/2 x=1/2
ymin=6+6-16=-4
当t=1时 x=0
y=-3
当t=2时 x=1
y=-3.5
值域[-4,-3]
单减[0,1/2]
单增[1/2,1]