有关“速算”的问题
有些计算方法，会是计算速度加快（表达不太好）比如：1×1＝111×11＝121111×111＝12321………………11…1（n个1）×11…1（n个1）＝12…（n-1...
有些计算方法，会是计算速度加快（表达不太好）
比如：
1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
………………
11…1（n个1）×11…1（n个1）＝12…（n-1）n（n-1）…21
各位，你们谁还知道什么其他的方法，朋友若肯赐教，小弟表示感激！ 展开
比如：
1×1＝1
11×11＝121
111×111＝12321
………………
11…1（n个1）×11…1（n个1）＝12…（n-1）n（n-1）…21
各位，你们谁还知道什么其他的方法，朋友若肯赐教，小弟表示感激！ 展开
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常用速算法：
中学数学离不开计算，如果在学习得过程中养成一些好的或快捷的计算习惯，不只是在数学计算上给自己方便，即使在生活中也有不少的方便。兹举几个方法供南山同学参考。
方法一：常见的平方数与立方数应该要记：
例、 12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 ,………,102 = 100 , ……,272 = 729 , …..尽量往后延伸！（参看方法四） 13 = 1 , 23 = 8 , 33 = 27 ,43 = 64 , 53 = 125 , 63=216, 73 = 343 , …..尽量往后延伸！请你想想看，我们是不是活在三度空间中，立方的东西到处都是。
方法二：移位速算法：将一个数字的因数或小数点或部分数字作适当的移置，计算上常有很快的结果。
例1、简单的移位速算法；如 32×125 = 4000，算法是将32中的因数 8 移去乘 125 得 1000，即刻可知此答案为 4000！又如48 ×25 = 1200，算法是将48中的因数 4 移去乘 25 得 100，即刻可知此答案为 1200！
EX.1. 84 × 25 = ___________. 2. 64 × 125 = ___________. 3. 120 ×25 = _________.
4. 124 × 25 = __________. 5. 24 × 125 = ____________. 6. 440 × 125 = _________.
注：1.一般而言被乘数中有4的因数，遇到 25 移 4 给他凑成100，遇到 250 移 4 给他凑成1000，、、、
2. 被乘数中有8的因数，遇到 1.25 移 8 给他凑成10，遇到 12.5 移 8 给他凑成100，遇到 125 移 8 给他凑成1000，、、、
例2、例1中遇到被乘数中没有4、8的因数怎麼办？不妨先乘100再除以4及先乘1000在除以8
例如：92×25 = 9200 ÷ 4 = 2300
802 ×125 = 802000 ÷ 8 = 100250
38 × 25 = 3800 ÷ 4 =950
46 × 125 = 46000 ÷ 8 = 5750
EX.1. 82 × 25 = ___________. 2. 68 × 125 = ___________. 3. 122 ×25 = _________.
4. 126 × 25 = __________. 5. 44 × 125 = ____________. 6. 444 × 125 = _________.
7. 18 × 35 = _________ .(= 9×70=630) 8. 14 × 75 = _______.9. 12 × 45 =_______.
例3、又如 998 + 474 = 1472。 算法是将2 移去给998 很简单的就得1472，、、、
还有多少移位速算法等您去找，你的计算功力就一直在增加了！
例4、计算 7.53×0.1 + 75.3×0.5 + 753×0.049 = 753×(0.001+0.05+0.049)=753×0.1=75.3 快速的发现是含753的数只有小数点位置不同，都把小数点移到另一个乘数上去就方便得多了。
方法三、注意分数与小数的交换的应用：
例、32×75 = 32× = 2400
例、68 ×750 = 68 × ×1000 =(68÷4)×3×1000=17×3×100=51000
例 、84×0.75=84× =(84÷4)×3=21×3=63
注：1、一般而言被乘数中有4的因数，遇到 75 ，被乘数先除以4后乘3，再加两个0，乘数中有4的因数，遇到 750 ，被乘数先除以4后乘3，再加三个0，遇到 7.5 ，被乘数先除以4后乘3，再加一个0，、、、
2、可以好好利用 ， ， ， ， ， 0.875 =
例、 480×125 = 60×1000=60000， 24×375 = 24000× =3000×3=9000， 8×625 = 8000× =1000×5=5000，、、、
Ex. 64×625 = _________. 96×62.5=_________. 32×0.625=___________.
方法四、简易公式的应用：
例1、98 × 102 = (100 – 2 )×(100 + 2) = 10000 – 4 = 9996。（应用(a+b)(a-b)=a2-b2）
例2、型如 (10x+5)2 可得 (x+1)(x)25 , 例如 752 =（7×8）后写上25=5625 , 452 = 2025 , …….理由是(10x + 5)2 = 100x2 + 2×10 × 5x + 25 = 100x(x+1) + 25。
例3、利用公式(10a+b)2 = a2×100+b2 + 2a×b×10
(17)2 = 149+140 = 289
(18)2 = 164 +160 = 324
(27)2 = 22×100+72 + 2×2×7×10= 449+280=449+300-20=729
(39)2 = 32×100 + 92 + 2×3×9×10 = 981 + 540 = 1521
Ex：心算 192，232，242，262，282，292，、、、、
例4、平方数也可利用下列公式计算： a2 = (a + b)(a – b) – b2
例如： 392 = (39+1)(39-1)+1 = 38×40 + 1 = 1521
262 =(26+4)(26-4)+16 = 22×30+16=676
272 = 24×30+9= 729
例5、不太大的连续两数的乘积：n×(n+1)= n2 +n
例如：26×27 = 676 + 26 = 702， 12×13=144+12=156，、、、
例6、连续四个整数相乘 加 1 的平方根等於中间两个数相乘 减 1
=
例如求 的值 。为 2002 ×2003 – 1 = 4010005
例7、两位数的十位数与个位数两数相反作相减时只需算十位数字相减的结果 ×9
如 73 – 37 = 4×9 = 36 ， 84 – 48 = 4×9 = 36 ， 93 – 39 = 6×9 = 54，、、、
原因是 (10×a + b) – (10×b + a ) = 10(a-b) – (b-a) = (a-b)×9。
同理；三位数的两个相反数作相减时只需算百位数字相减的结果 ×99
如 783 – 387 = 4×99 = 396 ， 947 – 749 = 2×99 = 198， 835 – 538 = 297、、、（参考用，396+963 = 1089，198+891 = 1089，297+792 = 1089，、、、）
例8、两位数的十位数与个位数两数相反作相加时只需算十位数字相加的结果 ×11
如 34 + 43 = 7×11 = 77， 49 +94 = 13×11 = 141， 78 + 87 = 15×11 = 165，、、、
注：一个数乘11 仅需将两位数相加结果放中间，两位数放两旁。如 14×11 = 151， 12×11 = 132， 19×11 = 209， 、、、
例、观察 9×8=72
99×98=9702
999×998=997002
9999×9998=99970002
……………………………………………………………………………..
试算： 1.9999999999×9999999998=__________________.ans:99999999970000000002
2.999999999×999999997=__________________.ans:999999996000000003
3.999999×999994=________________________.ans:999993000006
4.9999×9992 =___________________________.ans:99910008
例、1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1 = 8 ×8 = 64 。将它视为一个 8×8的方块面积。
例、计算1+3+5+…+(2n-1) = n2 情况与上例相同。
方法五：计算连续的等差数字和。 中间数 ×个数
例1、 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5×5 = 25 (奇数个时)
例2、 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 8×6 = 48 (偶数个时)
方法六：取基准数作加减。
31 + 32 + 29 + 30 + 27 + 33 + 28 = 7×30 + (1 + 2 – 1 + 0 – 3 + 3 – 2) = 210
本方法在统计数字中计算的常用方法，也称为平移法。
方法七：补数(式)的运用。
例1、9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + 999999 = 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 + 100000 – 6 = 1111110 – 6 = 11111104
例2、22 + 23 + 24 + …+ 210 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 29 = 210 – 2 – 1 = 1024 – 3 = 1021
例3、 ω 为 x10 – 1 = 0 的复数根，求 ω +ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 的值 ？
由於 1 + ω + ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 = 0 ，∴ω +ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 = - 1
注意：上面这个方法用的地方很多！
例4、(2+1)(22+1)(24+1)…(2n+1) = ？
补足一个括弧 (2 – 1) (2+1)(22+1)(24+1)…(2n+1) = 22n – 1 。
又如 求 之值
补足一个括弧 = 1 - 。
方法八、一些关键数字的应用：
例、 如果你知道7×11×13 = 1001
那麼 479×7×11×13 = 479479。
其他如 11×101 = 1111 ，11×111＝3×11×37 =1221 ， 11×11×11＝11×121＝1331，
11×131＝1441， 11×141＝3×517＝3×11×47＝1551， 11×151＝1661， 11×161＝1771，11×171＝11×3×3×19＝1881，11×181＝1991 也都值得注意。
方法九、适当的利用交换律、结合律、分配律作速算：(其实与移动位置法有同工异曲之妙)
例、8000 ÷ 125 ÷ 8 = 8000 ÷ (125×8) = 8 ----利用结合律
例、8000000÷125÷5÷25÷8÷4÷2 = 8000000÷[(125×8)(25×4)(5×2)=8000000÷(1000×100×10)=8 ----利用结合律
例、256÷72×18÷4＝256÷(72÷18×4)＝256÷(4×4)＝256÷16＝16。注意除号后面的连乘除前加括弧时括弧内乘除符号要交换变符号。
例、4500÷25=45×100÷25=45×(100÷25)＝45×4＝180。
例、45000 ÷125＝45×1000÷125＝45×(1000÷125)＝45×8＝360。
例、999+999×999 = 999×(1+999) = 999000 ----利用分配律
例、9999×9999 + 19999=9999×9999+(10000+9999)=10000+9999×(9999+1)=10000×(1+9999)=100000000。
其他：
认识 5、15、25、35、45、55、65、75、85、95的性质：
1、一个数以5去乘，计算的方法是先乘10，再用2去除比较快。
例、7348×5=73480÷2=36740。因为用2去除一个数字心算比用5去乘一个数字简单，你认为呢？
2、一个数以15去乘，计算的方法是先加数字的一半再成以10比较快。
例、2242×15=(2242+1121)×10＝33630。因为 2242×15＝2242×1.5×10，乘15的意思就是将原数加一半。
3、一个数以25去乘，计算的方法是先将数字除以4再乘100比较快。
例、2484×25＝(2484÷4)×100＝62100。因为 2484×25＝(2484×100)÷4＝(2484÷4)×100。
4、一个数以35、45、55去乘，计算的方法是先将数字乘以该数的2倍再除以2比较快。
例、123×45=123×90÷2=11070÷2=5535。
5、一个数以75去乘，计算的方法是先将数字除以4再乘300比较快。
例、284×75 = 71×3×100=21300。
6.至於一个数以55、65、75、85、95去乘，您也可想想法子作一些比较方便的算法。
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
您自己是否也有些速算的心得呢？将他再往下增添些您的「私房心算术」吧！
附注小常识：中国计数的单位为 个（100）、十（101）、百（102）、千（103）、万（104）、亿（108）、兆（1016）、京（1032）、陔（1064）、秭（10128）、壤（10256）、泃（10512）、涧（101024）、正（102048）、载（104096）。您知道吗？
参考资料：http://www.xtxjyj.com/Article_Print.asp?ArticleID=3453
中学数学离不开计算，如果在学习得过程中养成一些好的或快捷的计算习惯，不只是在数学计算上给自己方便，即使在生活中也有不少的方便。兹举几个方法供南山同学参考。
方法一：常见的平方数与立方数应该要记：
例、 12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 ,………,102 = 100 , ……,272 = 729 , …..尽量往后延伸！（参看方法四） 13 = 1 , 23 = 8 , 33 = 27 ,43 = 64 , 53 = 125 , 63=216, 73 = 343 , …..尽量往后延伸！请你想想看，我们是不是活在三度空间中，立方的东西到处都是。
方法二：移位速算法：将一个数字的因数或小数点或部分数字作适当的移置，计算上常有很快的结果。
例1、简单的移位速算法；如 32×125 = 4000，算法是将32中的因数 8 移去乘 125 得 1000，即刻可知此答案为 4000！又如48 ×25 = 1200，算法是将48中的因数 4 移去乘 25 得 100，即刻可知此答案为 1200！
EX.1. 84 × 25 = ___________. 2. 64 × 125 = ___________. 3. 120 ×25 = _________.
4. 124 × 25 = __________. 5. 24 × 125 = ____________. 6. 440 × 125 = _________.
注：1.一般而言被乘数中有4的因数，遇到 25 移 4 给他凑成100，遇到 250 移 4 给他凑成1000，、、、
2. 被乘数中有8的因数，遇到 1.25 移 8 给他凑成10，遇到 12.5 移 8 给他凑成100，遇到 125 移 8 给他凑成1000，、、、
例2、例1中遇到被乘数中没有4、8的因数怎麼办？不妨先乘100再除以4及先乘1000在除以8
例如：92×25 = 9200 ÷ 4 = 2300
802 ×125 = 802000 ÷ 8 = 100250
38 × 25 = 3800 ÷ 4 =950
46 × 125 = 46000 ÷ 8 = 5750
EX.1. 82 × 25 = ___________. 2. 68 × 125 = ___________. 3. 122 ×25 = _________.
4. 126 × 25 = __________. 5. 44 × 125 = ____________. 6. 444 × 125 = _________.
7. 18 × 35 = _________ .(= 9×70=630) 8. 14 × 75 = _______.9. 12 × 45 =_______.
例3、又如 998 + 474 = 1472。 算法是将2 移去给998 很简单的就得1472，、、、
还有多少移位速算法等您去找，你的计算功力就一直在增加了！
例4、计算 7.53×0.1 + 75.3×0.5 + 753×0.049 = 753×(0.001+0.05+0.049)=753×0.1=75.3 快速的发现是含753的数只有小数点位置不同，都把小数点移到另一个乘数上去就方便得多了。
方法三、注意分数与小数的交换的应用：
例、32×75 = 32× = 2400
例、68 ×750 = 68 × ×1000 =(68÷4)×3×1000=17×3×100=51000
例 、84×0.75=84× =(84÷4)×3=21×3=63
注：1、一般而言被乘数中有4的因数，遇到 75 ，被乘数先除以4后乘3，再加两个0，乘数中有4的因数，遇到 750 ，被乘数先除以4后乘3，再加三个0，遇到 7.5 ，被乘数先除以4后乘3，再加一个0，、、、
2、可以好好利用 ， ， ， ， ， 0.875 =
例、 480×125 = 60×1000=60000， 24×375 = 24000× =3000×3=9000， 8×625 = 8000× =1000×5=5000，、、、
Ex. 64×625 = _________. 96×62.5=_________. 32×0.625=___________.
方法四、简易公式的应用：
例1、98 × 102 = (100 – 2 )×(100 + 2) = 10000 – 4 = 9996。（应用(a+b)(a-b)=a2-b2）
例2、型如 (10x+5)2 可得 (x+1)(x)25 , 例如 752 =（7×8）后写上25=5625 , 452 = 2025 , …….理由是(10x + 5)2 = 100x2 + 2×10 × 5x + 25 = 100x(x+1) + 25。
例3、利用公式(10a+b)2 = a2×100+b2 + 2a×b×10
(17)2 = 149+140 = 289
(18)2 = 164 +160 = 324
(27)2 = 22×100+72 + 2×2×7×10= 449+280=449+300-20=729
(39)2 = 32×100 + 92 + 2×3×9×10 = 981 + 540 = 1521
Ex：心算 192，232，242，262，282，292，、、、、
例4、平方数也可利用下列公式计算： a2 = (a + b)(a – b) – b2
例如： 392 = (39+1)(39-1)+1 = 38×40 + 1 = 1521
262 =(26+4)(26-4)+16 = 22×30+16=676
272 = 24×30+9= 729
例5、不太大的连续两数的乘积：n×(n+1)= n2 +n
例如：26×27 = 676 + 26 = 702， 12×13=144+12=156，、、、
例6、连续四个整数相乘 加 1 的平方根等於中间两个数相乘 减 1
=
例如求 的值 。为 2002 ×2003 – 1 = 4010005
例7、两位数的十位数与个位数两数相反作相减时只需算十位数字相减的结果 ×9
如 73 – 37 = 4×9 = 36 ， 84 – 48 = 4×9 = 36 ， 93 – 39 = 6×9 = 54，、、、
原因是 (10×a + b) – (10×b + a ) = 10(a-b) – (b-a) = (a-b)×9。
同理；三位数的两个相反数作相减时只需算百位数字相减的结果 ×99
如 783 – 387 = 4×99 = 396 ， 947 – 749 = 2×99 = 198， 835 – 538 = 297、、、（参考用，396+963 = 1089，198+891 = 1089，297+792 = 1089，、、、）
例8、两位数的十位数与个位数两数相反作相加时只需算十位数字相加的结果 ×11
如 34 + 43 = 7×11 = 77， 49 +94 = 13×11 = 141， 78 + 87 = 15×11 = 165，、、、
注：一个数乘11 仅需将两位数相加结果放中间，两位数放两旁。如 14×11 = 151， 12×11 = 132， 19×11 = 209， 、、、
例、观察 9×8=72
99×98=9702
999×998=997002
9999×9998=99970002
……………………………………………………………………………..
试算： 1.9999999999×9999999998=__________________.ans:99999999970000000002
2.999999999×999999997=__________________.ans:999999996000000003
3.999999×999994=________________________.ans:999993000006
4.9999×9992 =___________________________.ans:99910008
例、1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1 = 8 ×8 = 64 。将它视为一个 8×8的方块面积。
例、计算1+3+5+…+(2n-1) = n2 情况与上例相同。
方法五：计算连续的等差数字和。 中间数 ×个数
例1、 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5×5 = 25 (奇数个时)
例2、 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 8×6 = 48 (偶数个时)
方法六：取基准数作加减。
31 + 32 + 29 + 30 + 27 + 33 + 28 = 7×30 + (1 + 2 – 1 + 0 – 3 + 3 – 2) = 210
本方法在统计数字中计算的常用方法，也称为平移法。
方法七：补数(式)的运用。
例1、9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + 999999 = 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 + 100000 – 6 = 1111110 – 6 = 11111104
例2、22 + 23 + 24 + …+ 210 = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 29 = 210 – 2 – 1 = 1024 – 3 = 1021
例3、 ω 为 x10 – 1 = 0 的复数根，求 ω +ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 的值 ？
由於 1 + ω + ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 = 0 ，∴ω +ω2 + ω3 + ω4 + …+ ω9 = - 1
注意：上面这个方法用的地方很多！
例4、(2+1)(22+1)(24+1)…(2n+1) = ？
补足一个括弧 (2 – 1) (2+1)(22+1)(24+1)…(2n+1) = 22n – 1 。
又如 求 之值
补足一个括弧 = 1 - 。
方法八、一些关键数字的应用：
例、 如果你知道7×11×13 = 1001
那麼 479×7×11×13 = 479479。
其他如 11×101 = 1111 ，11×111＝3×11×37 =1221 ， 11×11×11＝11×121＝1331，
11×131＝1441， 11×141＝3×517＝3×11×47＝1551， 11×151＝1661， 11×161＝1771，11×171＝11×3×3×19＝1881，11×181＝1991 也都值得注意。
方法九、适当的利用交换律、结合律、分配律作速算：(其实与移动位置法有同工异曲之妙)
例、8000 ÷ 125 ÷ 8 = 8000 ÷ (125×8) = 8 ----利用结合律
例、8000000÷125÷5÷25÷8÷4÷2 = 8000000÷[(125×8)(25×4)(5×2)=8000000÷(1000×100×10)=8 ----利用结合律
例、256÷72×18÷4＝256÷(72÷18×4)＝256÷(4×4)＝256÷16＝16。注意除号后面的连乘除前加括弧时括弧内乘除符号要交换变符号。
例、4500÷25=45×100÷25=45×(100÷25)＝45×4＝180。
例、45000 ÷125＝45×1000÷125＝45×(1000÷125)＝45×8＝360。
例、999+999×999 = 999×(1+999) = 999000 ----利用分配律
例、9999×9999 + 19999=9999×9999+(10000+9999)=10000+9999×(9999+1)=10000×(1+9999)=100000000。
其他：
认识 5、15、25、35、45、55、65、75、85、95的性质：
1、一个数以5去乘，计算的方法是先乘10，再用2去除比较快。
例、7348×5=73480÷2=36740。因为用2去除一个数字心算比用5去乘一个数字简单，你认为呢？
2、一个数以15去乘，计算的方法是先加数字的一半再成以10比较快。
例、2242×15=(2242+1121)×10＝33630。因为 2242×15＝2242×1.5×10，乘15的意思就是将原数加一半。
3、一个数以25去乘，计算的方法是先将数字除以4再乘100比较快。
例、2484×25＝(2484÷4)×100＝62100。因为 2484×25＝(2484×100)÷4＝(2484÷4)×100。
4、一个数以35、45、55去乘，计算的方法是先将数字乘以该数的2倍再除以2比较快。
例、123×45=123×90÷2=11070÷2=5535。
5、一个数以75去乘，计算的方法是先将数字除以4再乘300比较快。
例、284×75 = 71×3×100=21300。
6.至於一个数以55、65、75、85、95去乘，您也可想想法子作一些比较方便的算法。
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您自己是否也有些速算的心得呢？将他再往下增添些您的「私房心算术」吧！
附注小常识：中国计数的单位为 个（100）、十（101）、百（102）、千（103）、万（104）、亿（108）、兆（1016）、京（1032）、陔（1064）、秭（10128）、壤（10256）、泃（10512）、涧（101024）、正（102048）、载（104096）。您知道吗？
参考资料：http://www.xtxjyj.com/Article_Print.asp?ArticleID=3453
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