Question

求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2√7的圆的方程

Answer 1

设圆为（x－a）^2+(y-b)^2=c^2
圆心在直线3x－y＝0上所以b＝3a
与x轴相切即与y＝0只有一个根联立
得(x-a)^2+(3a)^2-c^2=0
转化得x^2-2ax+(10a^2-c^2)=0
△＝4a^2-4(10a^2-c^2)=0
c^2=9a^2
圆方程（x-a） ^2+(y-3a)^2=9a^2
将上面的方程和直线y=x再次联立
化简可以得到2x^2-8ax+a^2=0
因为弦长等于2根号7
所以上面的方程一定有2个根设为x1 x2
可以得到（x1－x2）^2+(y1-y2)^2=(2根号7)^2
这里y1＝x1 y2＝x2 就不用解释了继续化简
（x1＋x2）^2-4x1x2=0
由韦达定理带入可以求出a^2=1所以a＝±1
所以圆的方程就是（x－1）^2+(y-3)^2=9
或者（x+1）^2+(y+3)^2=9

Answer 2

设圆心是(a,3a),
与X轴相切
则半径=|3a|
(x-a)^2+(y-3a)^2=9a^2
被直线X-Y=0截
y=x,代入，整理
2x^2-8a+a^2=0
x1+x2=4a,x1*x2=a^2/2
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=14a^2
因为两点在y=x上，所以
(y1-y2)^2=(x1-x2)^2=14a^2
弦长为2倍根7
所以(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(2倍根7)^2=28
14a^2+14a^2=28
a^2=1
a=1,a=-1
所以有两解
(x-1)^2+(y-3)^2=9
(x+1)^2+(y+3)^2=9