Question

帮忙已知1×2×3=6，2×3×4=24，3×4×5=60，…，试证明:对任意的整数n,所有形如n²

已知1×2×3=6，2×3×4=24，3×4×5=60，…，试证明:对任意的整数n,所有形如n²(n+1)+2n(n+1)的数的最大公约数是6

Answer 1

n^2*(n+1)+2n(n+1)

=(n+1)(n^2+2n)
=n(n+1)(n+2) ，
这是三个连续整数的积，其中一定至少有一个偶数，恰有一个是 3 的倍数，
因此 n(n+1)(n+2) 一定是 6 的倍数，
又由于 1×2×3 与 2×3×4 的最大公约数为 6 ，
所以，所有形如 n(n+1)(n+2) 的数的最大公约数为 6 。

Answer 2

n²(n+1)+2n(n+1)=n^3+3n²+2n=n(n²+3n+2)=n(n+1)(n+2),所以对任意的整数n，最大的公约数都是6