Question

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，角BAC=60度，DE垂直平分BC，垂足为点D，交A

如图，在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，角BAC=60度，DE垂直平分BC，垂足为点D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.

Answer 1

求证菱形的条件是平行四边形+四边相等，或对角线垂直平分
只要求证AC=EC，EF=CE就行

解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，所以∠CBA=30°
因为DE垂直平分BC，所以BD=CD，DE=DE，∠BDE=∠CDE，DE∥CA。
所以△BDE≌△CDE，得∠ECD=∠DBE=30° ，推出∠CED＝60，
因为DE∥CA，所以∠DEB=∠CA=60，
因为∠BED+∠DEC+∠CEA=180，得∠CEA＝60。
在△CAE中， 有两个角＝60，所以△CAE为正三角形，得AC=CE=AE
因为AF=CE，AE=AE，∠FEA=∠CAE，所以△CAE≌△FAE
推出AC＝CE=EF=FA
又DE∥CA，所以EF∥CA，
推四边形ACEF为菱形。