Question

如下图，BC是半圆O的直径，点G是 半圆上任一点，点A为弧BG的中点，AP⊥BC于P，求证：AE=

如下图，BC是半圆O的直径，点G是 半圆上任一点，点A为弧BG的中点，AP⊥BC于P，求证：AE=BE=EF

Answer 1

证明：连接AB
则∠ABG = ∠C(同弧所对的圆周角相等）
∵BC是直径
∴∠BAC=90°
∴∠ABF+∠AFB=90°
∵AP垂直于BC
∴∠C+∠A=90°
∴∠A=∠AFB
∴AE=EF
∵∠BAP+∠A=90°
∴∠BAP=∠ABG = ∠C
∴AE=BE=EF

Answer 2

连结AB、GC。可得，角BGC、角BAC为直角，且与角APC相等。
那么，由弧AB＝弧AG，有角ABG＝角BCA＝角ACG。
那么，角PAC＝180度－角APC－角BAC＝180度－角ACG－角BGC＝角BFG
所以，AE＝EF。
又由于角BAP＝角BAC－角PAC＝角BGC－角GFC＝角ACG＝角ABG
所以，AE＝BE
所以AE＝BE＝EF