Question

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,则f(2003)=

Answer 1

y=f(x-1)向左平移一个单位得到y=f（x）
y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称
所以f（x）关于原点（0,0）对称
所以f（x）是奇函数
f(x+6)+f(x)=2f(3)令x=-3
则f（3）+f（-3）=2f（3）
再根据f（x）是奇函数
得到f（3）=-f（-3）
得到f（3）-f（3）=2f（3）
所以f（3）=0
所以f（x+6）+f（x）=0
用x+6换x
得到f（x+12）+f（x+6）=0
所以f（x+12）=f（x）
f（2003）=f（12*167-1）=f（-1）=-f（1）