Question

x,y,z都是实数 (xy+2yz+3xz)/(x^2+y^2+z^2)最大值

Answer 1

题目抄错了吧?
如果是求(xy+2yz+2zx)/(x²+y²+z²)的最大值，则灰常简单！

解法一：
引入参数λ,则用基本不等式解决：
2yz＝2·λy·z/λ≤λ²y²+z²/λ²
2zx＝2·λx·z/λ≤λ²x²+z²/λ²
xy≤(x²+y²)/2
∴xy+2yz+2zx
≤(λ²+1/2)x²+(λ²+1/2)+(2/λ²)z²
令λ²+1/2＝2/λ²→λ²＝(√33-1)/4.
∴λ²+1/2＝(1+√33)/4
∴所求最大值为(1+√33)/4.

解法二：
依嵌入不等式
x²+y²+z²≥2xycosA+2yzcosB+2zxcosC
(A+B+C＝π)
令cosB＝cosC＝2cosA,得B＝C,A＝π-2B.
∴cosB＝2cos(π-2B)→cosB＝(-1+√33)/8.
代回嵌入不等式，得
所求最大值为：(1+√33)/4。

追问

题目木有抄错，这是老师上课的时候出的思考题，谢谢！