Question

考研高等数学问题，为什么一个函数是奇函数，并且积分区域关于坐标轴对称它的二次积分就能根据对称性为零

考研高等数学问题，为什么一个函数是奇函数，并且积分区域关于坐标轴对称它的二次积分就能根据对称性为零，这样表述正确么？

Answer 1

你是想说二重积分吧，二次积分是指把原函数积分两次，对应与二阶求导。
二重积分的原函数为关于某个自变量的奇函数时，而且积分区域关于该自变量为0的直线对称，则积分为0，例如，f(x,y)关于x奇函数，且积分区域关于x=0(即y轴对称)，积分为0.
三重积分也类似，如果f(x,y,z)关于x奇函数，且积分区间关于x=0(即yoz平面)对称，积分为0。
所为偶函数，结果是对称区间的一半上积分的两倍

追答

不知道有没有解决你的问题，如果不清楚欢迎再问

追问

这个在图像上该怎么理解呢？只能数学推导得出这个结论么？

追答

图像上这么理解，比方说f(x,y)是关于x的奇函数，那不管y取多少，函数始终关于x是某对称区间上的奇函数,这样f(x,y)曲面可以看成无数条关于x的奇函数曲线构成（y取不同值，得出不同的曲线），这个对称区间关于x=0对称（其实就是关于y轴对称），令y取不同的值，二维区域分成无数个关于y轴对称的一维对称区间，这样积分区间化成无数个直线段区域，被积函数化成无数个一元奇函数，而且让每一个y值正好对应一个直线段积分区域和一个一元函数。由于积分的本质是求和运算，所以原来的二重积分可以化成这样无数个不同的一元奇函数在不同的对称直线段上的积分的总和，由于每一个积分都是0，总的积分当然是0。
另一个角度，函数是关于某个自变量的奇函数，那么函数在该自变量的方向上一半取大于0的值，一半取对应的相反数，那函数曲面±各半，上下部分于投影区域围成的体积相等，根据二重积分的表体积的几何意义，最后结果是0

Answer 2

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