Question

请教一道关于相似矩阵的线性代数题

α是n维列向量，α^Tα=b,(b是不为0的常数)，A=E+kαα^T,(k≠0)，证明：A能相似于对角阵。
说明：α^T表示α的转置矩阵。我今年大一刚开始学线代，很多概念不太理解，请高手尽量说的祥细一点，谢谢啊。

Answer 1

Aα=（E+kαα^T）α=α+kαα^Tα
=α+kα（α^Tα）=α+kα（b）=（1+kb)α
α是属于特征值1+kb的特征向量。

αα^T的秩为1，所以αα^TX=0的基础解系含有n-1个向量β1，β2，......，βn-1.
Aβi=（E+kαα^T）βi=βi (i=1，2，...,n-1)
βi是属于特征值1的特征向量。(i=1，2，...,n-1)
A有n个线性无关的特征向量。
A能相似于对角阵。