Question

如图，已知正方形ABCD中，P是BC边上的点，BP＝3PC，Q是CD的中点， 求证（1）△ADQ∽

如图，已知正方形ABCD中，P是BC边上的点，BP＝3PC，Q是CD的中点，
求证（1）△ADQ∽△QCP
（2）AQ⊥QP
（3）AQ＝2PQ
（4）AQ平分∠DAP

Answer 1

（1）证明：∵在正方形ABCD中， bp=3pc ,
设pc为k,则bp=3k ,
∵BC=DC ，
所以DC = cp+bp =k+3k =4k .
∵ q 为 DC中点，
∴ dp = pc = 2k
则 qc:cp =ad : dq =2 又∵ ∠ADC=∠PCQ =90°
∴△PCQ∽△ADQ

（2）∵，△ADQ ∽ △QCP ，可得：∠AQD = ∠QPC ，
∴，∠AQP = 180°-∠AQD-∠PQC = 180°-∠QPC-∠PQC = ∠PCQ = 90° ，
即有：AQ⊥PQ 。

（3）证明：∵已知正方形ABCD中,p是BC边上的点,BP=3PC,Q是CD的中点，
∴AQ=根号5/2AQ，PQ=根号5/4AQ，AP=2根号5/2AQ。
∴AD：AP=DQ：QP=AQ：AP=根号5/2
∴:△ADQ∽△AQP

（4）证明：
延长AQ，交BC的延长线于点E
∵P是CD中点
易证△ADQ≌△ECQ
∴CE=AD
设PC=1
则BP=3，AB=4
∴AP=5
∵PE=PC+CE=1+4=5
∴AP=PE
∴∠E=∠PAE
∵AD‖BC
∴∠E=∠DAQ
∴∠DAQ=∠PAQ
即AQ平分∠PAD

追问

谢了！老兄