Question

设F1F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P满足：PF

设F1F2分别为双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P满足：PF1F2以PF1为底边的等腰三角形；直线PF1与圆x2+y2=1/4a2相切，则此圆双曲线的离心率为 求过程谢谢

Answer 1

△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，
∴PF2=F1F2=2c,
P在双曲线的右支上,
∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+2c.
cosPF1F2=PF1/(2F1F2)=(a+c)/(2c),
PF1的斜率k=tanPF1F2=√(3c^2-2ac-a^2)/(a+c)=√(3e^2-2e-1)/(1+e),
直线PF1:y=k(x+c)与圆x2+y2=(1/4)a^2相切,
∴ck/√(1+k^2)=a/2,
∴2ek=√(1+k^2),
平方得4e^2*k^2=1+k^2,
∴1=(4e^2-1)k^2=(4e^2-1)(3e^2-2e-1)/(1+e)^2,
∴(4e^2-1)(3e^2-2e-1)=(1+e)^2，
化简得3e^2-2e-2=0,e>1,
∴e=(1+√7)/3,为所求.

追问

3q

追答

知道了