Question

怎样学好一次函数问题？

Answer 1

一次函数只是你学函数的开始，所以不必担心学不好。学一次函数主要要掌握以下几点：1.一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。 2.【解释】函数的基本概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 　　定义了函数的概念，接下来我们来介绍函数的一种特殊情况——一次函数。 　　表达式为y=kx+b（k≠0，k、b均为常数）的函数，叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx（k≠0），这时的常数k也叫比例系数。（也叫正比例函数） 　　y关于自变量x的一次函数有如下关系： 　　1.y=kx+b （k为任意不为0的常数，b为任意实数） 　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。 　　x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。 　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但k≠0）正比例函数图像经过原点。 　　定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义；二要与实际相符合。 　　常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。 3.函数性质　　1．当k>0时，y的变化值随x的变化值增大而增大，反之，y的变化值随x的变化值减小而减小，当k<0时，y的变化值随x的变化值增大而减小，反之，y的变化值随x的变化值减小而增大。 　　在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大 km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。 　　2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。 　　3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。 　　4．在两个一次函数表达式中： 　　当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合； 　　当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行； 　　当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交； 　　当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 4.图像性质　　1．作法：通过如下3个步骤： 　　（1）列表；取满足一次函数表达式的两个点的坐标。 　　（2）描点；一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 　　一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。 　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。 　　（3）连线。一次函数的图象是一条直线，因此，作一次函数的图象只需知道两个点，并作出直线即可。（通常取函数图象与x轴、y轴的两交点（0，b）和（-b/k，0））。 　　2．性质： 　　（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。 　　3．k，b决定函数图像的位置： 　　y=kx时，y与x成正比例： 　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 　　当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。 　　y=kx+b时： 　　当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 　　当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限； 　　当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 　　当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。 　　当b>0时，直线必通过第一、二象限； 　　当b<0时，直线必通过第三、四象限。 　　特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。 　　这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。 　　4、特殊位置关系： 　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等； 　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。 　　5、一次函数的解析式： 　　①点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）； 　　②两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）， 　　③截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。 　　解析式表达的局限性： 　　①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）； 　　②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）； 　　④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。 5.一、一次函数与一元一次不等式的关系　　从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 　　从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 二、用画函数图象的方法解不等式　　对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。 　　当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- bk，不等式kx+b<0的解为：x<- bk； 　　当k0的解为：x<- bk，不等式kx+b- bk。6.一次函数的应用　　一、分段函数问题 　　分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符 　　合实际。 　　二、函数的多变量问题 　　解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻 　　求可以反映实际问题的函数 　　三、概括整合 　　（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。 　　（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。7.常用公式　　1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2) 　　2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2 　　3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2 　　4.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ] 　　5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 　　两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 　　6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2] 　　7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0) 　　x y 　　+， +（正，正）在第一象限 　　- ，+ （负，正）在第二象限 　　- ，- （负，负）在第三象限 　　+ ，- （正，负）在第四象限 　　8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2 　　9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1 　　10. 　　y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位 y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变n） 　　y=kx+b+n就是向上平移n个单位 　　y=kx+b-n就是向下平移n个单位 　　口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b） 　　11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b) 生活中的应用　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 　　3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数） 数学问题　　一、确定字母系数的取值范围 　　例1 已知正比例函数 ，则当k——0时，y随x的增大而减小。 　　解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。 　　二、比较x值或y值的大小 　　例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ） 　　A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定 　　解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。 　　故选A。 　　三、判断函数图象的位置 　　例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） 　　A. 第一象限 B. 第二象限 　　C. 第三象限 D. 第四象限 　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。 　　故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A

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