Question

【微积分高手】求解下图所示的微积分问题。

Answer 1

lim (1+x+f(x)/x)^(1/x)=lim e^[ln(1+x+f(x)/x)/x]=3，所以lim ln(1+x+f(x)/x)/x=3，所以分子是无穷小，用等价无穷小，得lim (x+f(x)/x))/x=3，所以lim f(x)/x^2=2。
所以，f(0)=lim f(x)=0，f'(0)=lim f(x)/x=0。
用洛必达法则，2=lim f(x)/x^2=lim f'(x)/(2x)=1/2*f''(0)，所以f''(0)=4。

因为，lim ln(1+f(x)/x)/x=lim f(x)/x^2=2。
所以，lim (1+f(x)/x)^(1/x)=lim e^[ln(1+f(x)/x))/x]=e^2。